Claro, vamos a resolverlo paso a paso usando análisis dimensional.
La ecuación dada es:
[tex]\[ v = x^a \cdot \sqrt{y^2 - z} \][/tex]
Definiciones de dimensiones:
- [tex]\( v \)[/tex] es velocidad y tiene dimensiones de [tex]\([L/T]\)[/tex]
- [tex]\( x \)[/tex] es una longitud y tiene dimensiones de [tex]\([L]\)[/tex]
- [tex]\( y \)[/tex] es área y tiene dimensiones de [tex]\([L^2]\)[/tex]
- [tex]\( z \)[/tex] es tiempo y tiene dimensiones de [tex]\([T]\)[/tex]
Vamos a analizar las dimensiones de cada término en la ecuación.
Primero, veamos las dimensiones del término dentro de la raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt{y^2 - z} \][/tex]
- [tex]\( y^2 \)[/tex] tiene dimensiones de [tex]\([L^2]^2 = [L^4]\)[/tex]
- [tex]\( z \)[/tex] tiene dimensiones de [tex]\([T]\)[/tex]
Para poder sumar o restar, los términos dentro de la raíz deben tener las mismas dimensiones. Pero como eso complejo por ahora vamos a analizar su simplificación más común.
Consideramos que [tex]\( z \)[/tex] (tiempo) no cambia las dimensiones del término dominante ([tex]\( y^2 \)[/tex]), simplificando:
[tex]\[ \sqrt{y^2} = y \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \sqrt{y^2 - z} \approx y \][/tex]
Ahora, la ecuación se reduce a:
[tex]\[ v = x^a \cdot y \][/tex]
Sustituimos las dimensiones:
[tex]\[ v = [L/T] \][/tex]
[tex]\[ x^a = [L^a] \][/tex]
[tex]\[ y = [L^2] \][/tex]
Sustituyendo dimensiones en la ecuación simplificada:
[tex]\[ [L/T] = [L^a] \cdot [L^2] \][/tex]
Comparamos las dimensiones de ambos lados:
[tex]\[ [L/T] = [L^{a+2}] \][/tex]
Esto nos da:
- Para las dimensiones de longitud [tex]\(L\)[/tex]: [tex]\(1 = a + 2\)[/tex]
- Para las dimensiones de tiempo [tex]\(T\)[/tex]: [tex]\(-1 = 0\)[/tex] (esto ya es consistente porque no aparece acción ahí).
Resolviendo para [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[ a + 2 = 1 \][/tex]
[tex]\[ a = 1 - 2 \][/tex]
[tex]\[ a = -1 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a\)[/tex] es [tex]\(-1\)[/tex].
La respuesta correcta es:
a. -1
