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Sagot :
Vamos a proceder a resolver el problema paso a paso:
### Paso 1: Crear la lista de datos extendida
Primero, tenemos que generar una lista extendida de datos basada en los tiempos de duración y el número de personas.
Los intervalos y número de personas son:
- [tex]\([0, 7)\)[/tex]: 35 personas
- [tex]\([7, 14)\)[/tex]: 23 personas
- [tex]\([14, 21)\)[/tex]: 15 personas
- [tex]\([21, 28)\)[/tex]: 10 personas
- [tex]\([28, 32)\)[/tex]: 9 personas
Para poder calcular la media, la mediana, la moda y los cuartiles, tomamos el punto medio de cada intervalo para extender los datos:
- Punto medio de [tex]\([0, 7)\)[/tex] es [tex]\((0 + 7) / 2 = 3.5\)[/tex], y se repite 35 veces.
- Punto medio de [tex]\([7, 14)\)[/tex] es [tex]\((7 + 14) / 2 = 10.5\)[/tex], y se repite 23 veces.
- Punto medio de [tex]\([14, 21)\)[/tex] es [tex]\((14 + 21) / 2 = 17.5\)[/tex], y se repite 15 veces.
- Punto medio de [tex]\([21, 28)\)[/tex] es [tex]\((21 + 28) / 2 = 24.5\)[/tex], y se repite 10 veces.
- Punto medio de [tex]\([28, 32)\)[/tex] es [tex]\((28 + 32) / 2 = 30\)[/tex], y se repite 9 veces.
Así, nuestra lista extendida de datos sería:
[tex]\[ \text{datos} = [3.5 \times 35, 10.5 \times 23, 17.5 \times 15, 24.5 \times 10, 30 \times 9] \][/tex]
### Paso 2: Calcular la media
La media es la suma de todos los valores dividida por el número total de valores.
[tex]\[ \text{media} = \frac{\sum (\text{valor} \times \text{frecuencia})}{\sum (\text{frecuencia})} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{(3.5 \times 35) + (10.5 \times 23) + (17.5 \times 15) + (24.5 \times 10) + (30 \times 9)}{35 + 23 + 15 + 10 + 9} \][/tex]
Calculemos:
[tex]\[ \text{media} = \frac{(3.5 \times 35) + (10.5 \times 23) + (17.5 \times 15) + (24.5 \times 10) + (30 \times 9)}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{122.5 + 241.5 + 262.5 + 245 + 270}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{1141.5}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = 12.4087 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la mediana
Para calcular la mediana, ordenamos los datos y encontramos el valor central. Dado que tenemos 92 datos:
[tex]\[ \text{mediana} = \text{valor en la posición } \left( \frac{92 + 1}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ \text{mediana} = \text{valor en la posición } 46.5 \][/tex]
Buscamos el valor en la posición 46 y 47 en la lista extendida:
- Valores en la posición 1-35 son 3.5.
- Valores en la posición 36-58 son 10.5.
La mediana es:
[tex]\[ \text{mediana} = 10.5 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la moda
La moda es el valor que más veces se repite en la muestra. Aquí, el valor que más veces se repite es 3.5 (35 veces).
[tex]\[ \text{moda} = 3.5 \][/tex]
### Paso 5: Calcular los cuartiles
Los cuartiles se refieren a valores que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales.
Para encontrar los cuartiles:
- El primer cuartil ([tex]\(Q1\)[/tex]) es el valor en la posición [tex]\(\frac{92}{4} = 23\)[/tex].
- El segundo cuartil ([tex]\(Q2\)[/tex]) es la mediana, que ya calculamos.
- El tercer cuartil ([tex]\(Q3\)[/tex]) es el valor en la posición [tex]\(\frac{3 \times 92}{4} = 69\)[/tex].
De nuevo, buscamos en la lista de valores extendidos:
- [tex]\(Q1\)[/tex] se encuentra en la posición 23, que es 3.5.
- [tex]\(Q2\)[/tex] ya se calculó como 10.5.
- [tex]\(Q3\)[/tex] se encuentra en la posición 69, que caería en el rango de 17.5.
Por lo tanto, los cuartiles son:
[tex]\[ Q1 = 3.5, \quad Q2 = 10.5, \quad Q3 = 17.5 \][/tex]
### Resumen de los Resultados
- Media: [tex]\(12.41\)[/tex]
- Mediana: [tex]\(10.5\)[/tex]
- Moda: [tex]\(3.5\)[/tex]
- Cuartiles:
- [tex]\(Q1 = 3.5\)[/tex]
- [tex]\(Q2 = 10.5\)[/tex] (Mediana)
- [tex]\(Q3 = 17.5\)[/tex]
### Paso 1: Crear la lista de datos extendida
Primero, tenemos que generar una lista extendida de datos basada en los tiempos de duración y el número de personas.
Los intervalos y número de personas son:
- [tex]\([0, 7)\)[/tex]: 35 personas
- [tex]\([7, 14)\)[/tex]: 23 personas
- [tex]\([14, 21)\)[/tex]: 15 personas
- [tex]\([21, 28)\)[/tex]: 10 personas
- [tex]\([28, 32)\)[/tex]: 9 personas
Para poder calcular la media, la mediana, la moda y los cuartiles, tomamos el punto medio de cada intervalo para extender los datos:
- Punto medio de [tex]\([0, 7)\)[/tex] es [tex]\((0 + 7) / 2 = 3.5\)[/tex], y se repite 35 veces.
- Punto medio de [tex]\([7, 14)\)[/tex] es [tex]\((7 + 14) / 2 = 10.5\)[/tex], y se repite 23 veces.
- Punto medio de [tex]\([14, 21)\)[/tex] es [tex]\((14 + 21) / 2 = 17.5\)[/tex], y se repite 15 veces.
- Punto medio de [tex]\([21, 28)\)[/tex] es [tex]\((21 + 28) / 2 = 24.5\)[/tex], y se repite 10 veces.
- Punto medio de [tex]\([28, 32)\)[/tex] es [tex]\((28 + 32) / 2 = 30\)[/tex], y se repite 9 veces.
Así, nuestra lista extendida de datos sería:
[tex]\[ \text{datos} = [3.5 \times 35, 10.5 \times 23, 17.5 \times 15, 24.5 \times 10, 30 \times 9] \][/tex]
### Paso 2: Calcular la media
La media es la suma de todos los valores dividida por el número total de valores.
[tex]\[ \text{media} = \frac{\sum (\text{valor} \times \text{frecuencia})}{\sum (\text{frecuencia})} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{(3.5 \times 35) + (10.5 \times 23) + (17.5 \times 15) + (24.5 \times 10) + (30 \times 9)}{35 + 23 + 15 + 10 + 9} \][/tex]
Calculemos:
[tex]\[ \text{media} = \frac{(3.5 \times 35) + (10.5 \times 23) + (17.5 \times 15) + (24.5 \times 10) + (30 \times 9)}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{122.5 + 241.5 + 262.5 + 245 + 270}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = \frac{1141.5}{92} \][/tex]
[tex]\[ \text{media} = 12.4087 \][/tex]
### Paso 3: Calcular la mediana
Para calcular la mediana, ordenamos los datos y encontramos el valor central. Dado que tenemos 92 datos:
[tex]\[ \text{mediana} = \text{valor en la posición } \left( \frac{92 + 1}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ \text{mediana} = \text{valor en la posición } 46.5 \][/tex]
Buscamos el valor en la posición 46 y 47 en la lista extendida:
- Valores en la posición 1-35 son 3.5.
- Valores en la posición 36-58 son 10.5.
La mediana es:
[tex]\[ \text{mediana} = 10.5 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la moda
La moda es el valor que más veces se repite en la muestra. Aquí, el valor que más veces se repite es 3.5 (35 veces).
[tex]\[ \text{moda} = 3.5 \][/tex]
### Paso 5: Calcular los cuartiles
Los cuartiles se refieren a valores que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales.
Para encontrar los cuartiles:
- El primer cuartil ([tex]\(Q1\)[/tex]) es el valor en la posición [tex]\(\frac{92}{4} = 23\)[/tex].
- El segundo cuartil ([tex]\(Q2\)[/tex]) es la mediana, que ya calculamos.
- El tercer cuartil ([tex]\(Q3\)[/tex]) es el valor en la posición [tex]\(\frac{3 \times 92}{4} = 69\)[/tex].
De nuevo, buscamos en la lista de valores extendidos:
- [tex]\(Q1\)[/tex] se encuentra en la posición 23, que es 3.5.
- [tex]\(Q2\)[/tex] ya se calculó como 10.5.
- [tex]\(Q3\)[/tex] se encuentra en la posición 69, que caería en el rango de 17.5.
Por lo tanto, los cuartiles son:
[tex]\[ Q1 = 3.5, \quad Q2 = 10.5, \quad Q3 = 17.5 \][/tex]
### Resumen de los Resultados
- Media: [tex]\(12.41\)[/tex]
- Mediana: [tex]\(10.5\)[/tex]
- Moda: [tex]\(3.5\)[/tex]
- Cuartiles:
- [tex]\(Q1 = 3.5\)[/tex]
- [tex]\(Q2 = 10.5\)[/tex] (Mediana)
- [tex]\(Q3 = 17.5\)[/tex]
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