Para encontrar el otro factor del polinomio [tex]\(3x^3 + 20x^2 - 21x + 88\)[/tex] dado que [tex]\(x + 8\)[/tex] es un factor del mismo, utilizaremos la división larga de polinomios. Aquí están los pasos detallados para realizar esta división:
1. Preparación:
- Dividendo: [tex]\(3x^3 + 20x^2 - 21x + 88\)[/tex]
- Divisor: [tex]\(x + 8\)[/tex]
2. División:
- Primer término de la división:
Dividimos el primer término del dividendo [tex]\(3x^3\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{3x^3}{x} = 3x^2
\][/tex]
Este será el primer término del cociente.
- Multiplicación y resta:
Multiplicamos este término del cociente por el divisor y restamos del dividendo:
[tex]\[
(3x^2) \cdot (x + 8) = 3x^3 + 24x^2
\][/tex]
Restamos este resultado del dividendo completo:
[tex]\[
(3x^3 + 20x^2 - 21x + 88) - (3x^3 + 24x^2) = -4x^2 - 21x + 88
\][/tex]
- Segundo término de la división:
Dividimos el nuevo primer término del dividendo [tex]\(-4x^2\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{-4x^2}{x} = -4x
\][/tex]
Este será el siguiente término del cociente.
- Multiplicación y resta:
Multiplicamos este término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo:
[tex]\[
(-4x) \cdot (x + 8) = -4x^2 - 32x
\][/tex]
Restamos este resultado del dividendo que ya teníamos:
[tex]\[
(-4x^2 - 21x + 88) - (-4x^2 - 32x) = 11x + 88
\][/tex]
- Tercer término de la división:
Dividimos el nuevo primer término del dividendo [tex]\(11x\)[/tex] por el primer término del divisor [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{11x}{x} = 11
\][/tex]
Este será el último término del cociente.
- Multiplicación final y resta:
Multiplicamos este último término del cociente por el divisor y restamos del nuevo dividendo:
[tex]\[
(11) \cdot (x + 8) = 11x + 88
\][/tex]
Restamos este resultado del dividido que teníamos:
[tex]\[
(11x + 88) - (11x + 88) = 0
\][/tex]
Por lo tanto, el cociente obtenido del proceso de división es [tex]\(3x^2 - 4x + 11\)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex], lo que confirma que la división es exacta.
Conclusión:
El otro factor del polinomio es:
[tex]\[
3x^2 - 4x + 11
\][/tex]
La respuesta correcta es la opción A.
