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Sagot :
Pour déterminer la forme algébrique et la forme matricielle des nombres complexes [tex]\(Z_1, Z_2, Z_3\)[/tex] et [tex]\(Z_4\)[/tex], nous procéderons comme suit :
### 1. Calcul de [tex]\(Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} = \frac{(2i + 5) \cdot (3 - 4i)}{(4i + 3) \cdot (3 - 4i)} = \frac{(2i + 5) \cdot (3 - 4i)}{9 + 16} = \frac{6i + 15 - 8i^2 - 20i}{25} = \frac{6i + 15 + 8 - 20i}{25} = \frac{23 - 14i}{25} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_1\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_1 = \frac{23}{25} - \frac{14i}{25} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_1 = \frac{23}{25} - \frac{14i}{25} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_1) & -\text{Im}(Z_1) \\ \text{Im}(Z_1) & \text{Re}(Z_1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{23}{25} & \frac{14}{25} \\ -\frac{14}{25} & \frac{23}{25} \end{pmatrix} \][/tex]
### 2. Calcul de [tex]\(Z_2 = \frac{1}{4i + 8}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} = \frac{1}{4i + 8} \cdot \frac{8 - 4i}{8 - 4i} = \frac{8 - 4i}{64 + 16} = \frac{8 - 4i}{80} = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_2\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_2) & -\text{Im}(Z_2) \\ \text{Im}(Z_2) & \text{Re}(Z_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{10} \end{pmatrix} \][/tex]
### 3. Calcul de [tex]\(Z_3 = \frac{i + 1}{2i + 3}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_3 = \frac{i + 1}{2i + 3} = \frac{(i + 1) \cdot (3 - 2i)}{(2i + 3) \cdot (3 - 2i)} = \frac{3i + 3 - 2i^2 - 2i}{9 + 4} = \frac{3i + 3 + 2 - 2i}{13} = \frac{5 + i}{13} = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_3\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_3 = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_3 = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_3) & -\text{Im}(Z_3) \\ \text{Im}(Z_3) & \text{Re}(Z_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{13} & -\frac{1}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{pmatrix} \][/tex]
### 4. Calcul de [tex]\(Z_4 = \frac{3i + 6}{i}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 6}{i} = \frac{3i + 6}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{(3i + 6) \cdot (-i)}{-i^2} = \frac{-3i^2 - 6i}{1} = \frac{3 - 6i}{1} = 3 - 6i \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_4\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_4 = 3 - 6i \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_4 = 3 - 6i \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_4) & -\text{Im}(Z_4) \\ \text{Im}(Z_4) & \text{Re}(Z_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Résumé :
- [tex]\(Z_1\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{23}{25} - \frac{14i}{25}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{23}{25} & \frac{14}{25} \\ -\frac{14}{25} & \frac{23}{25} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_2\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{1}{10} - \frac{i}{20}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_3\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{5}{13} + \frac{i}{13}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{5}{13} & -\frac{1}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_4\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(3 - 6i\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}\)[/tex]
### 1. Calcul de [tex]\(Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} = \frac{(2i + 5) \cdot (3 - 4i)}{(4i + 3) \cdot (3 - 4i)} = \frac{(2i + 5) \cdot (3 - 4i)}{9 + 16} = \frac{6i + 15 - 8i^2 - 20i}{25} = \frac{6i + 15 + 8 - 20i}{25} = \frac{23 - 14i}{25} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_1\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_1 = \frac{23}{25} - \frac{14i}{25} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_1 = \frac{23}{25} - \frac{14i}{25} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_1) & -\text{Im}(Z_1) \\ \text{Im}(Z_1) & \text{Re}(Z_1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{23}{25} & \frac{14}{25} \\ -\frac{14}{25} & \frac{23}{25} \end{pmatrix} \][/tex]
### 2. Calcul de [tex]\(Z_2 = \frac{1}{4i + 8}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} = \frac{1}{4i + 8} \cdot \frac{8 - 4i}{8 - 4i} = \frac{8 - 4i}{64 + 16} = \frac{8 - 4i}{80} = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_2\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{10} - \frac{i}{20} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_2) & -\text{Im}(Z_2) \\ \text{Im}(Z_2) & \text{Re}(Z_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{10} \end{pmatrix} \][/tex]
### 3. Calcul de [tex]\(Z_3 = \frac{i + 1}{2i + 3}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_3 = \frac{i + 1}{2i + 3} = \frac{(i + 1) \cdot (3 - 2i)}{(2i + 3) \cdot (3 - 2i)} = \frac{3i + 3 - 2i^2 - 2i}{9 + 4} = \frac{3i + 3 + 2 - 2i}{13} = \frac{5 + i}{13} = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_3\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_3 = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_3 = \frac{5}{13} + \frac{i}{13} \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_3) & -\text{Im}(Z_3) \\ \text{Im}(Z_3) & \text{Re}(Z_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{13} & -\frac{1}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{pmatrix} \][/tex]
### 4. Calcul de [tex]\(Z_4 = \frac{3i + 6}{i}\)[/tex]
- Forme algébrique :
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 6}{i} = \frac{3i + 6}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{(3i + 6) \cdot (-i)}{-i^2} = \frac{-3i^2 - 6i}{1} = \frac{3 - 6i}{1} = 3 - 6i \][/tex]
Donc, la forme algébrique de [tex]\(Z_4\)[/tex] est :
[tex]\[ Z_4 = 3 - 6i \][/tex]
- Forme matricielle :
[tex]\[ Z_4 = 3 - 6i \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \text{Re}(Z_4) & -\text{Im}(Z_4) \\ \text{Im}(Z_4) & \text{Re}(Z_4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Résumé :
- [tex]\(Z_1\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{23}{25} - \frac{14i}{25}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{23}{25} & \frac{14}{25} \\ -\frac{14}{25} & \frac{23}{25} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_2\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{1}{10} - \frac{i}{20}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_3\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(\frac{5}{13} + \frac{i}{13}\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} \frac{5}{13} & -\frac{1}{13} \\ \frac{1}{13} & \frac{5}{13} \end{pmatrix}\)[/tex]
- [tex]\(Z_4\)[/tex] :
- Forme algébrique : [tex]\(3 - 6i\)[/tex]
- Forme matricielle : [tex]\(\begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}\)[/tex]
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