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Sagot :
Pour déterminer les racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i\sqrt{3} \)[/tex], nous devons suivre les étapes suivantes :
1. Exprimer le nombre complexe en forme trigonométrique (ou exponentielle): Pour cela, nous devons d'abord trouver le module et l'argument de [tex]\( z \)[/tex].
2. Calculer les [tex]\(5\)[/tex] racines cinquièmes: Nous utiliserons la formule de De Moivre pour obtenir les racines.
### Étape 1 : Trouver le module et l'argument de [tex]\( z \)[/tex]
Le nombre complexe [tex]\( z \)[/tex] peut être exprimé comme [tex]\( z = x + yi \)[/tex] où [tex]\( x = 1 \)[/tex] et [tex]\( y = -\sqrt{3} \)[/tex].
Module de [tex]\( z \)[/tex] :
[tex]\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \][/tex]
Argument de [tex]\( z \)[/tex] :
L’argument de [tex]\( z \)[/tex], noté [tex]\( \theta \)[/tex], est l’angle que forme [tex]\( z \)[/tex] avec l’axe des abscisses dans le plan complexe.
[tex]\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \][/tex]
Sachant que [tex]\( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)[/tex], cela donne :
[tex]\[ \theta = -\frac{\pi}{3} \][/tex]
### Étape 2 : Exprimer [tex]\( z \)[/tex] en forme trigonométrique
Nous pouvons alors écrire :
[tex]\[ z = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \][/tex]
### Étape 3 : Calculer les racines cinquièmes
Pour trouver les racines, nous utilisons la formule de De Moivre dérivée pour les racines [tex]\( n \)[/tex]-èmes.
Pour chaque [tex]\( k \)[/tex] (valant de [tex]\( 0 \)[/tex] à [tex]\( 4 \)[/tex]), la [tex]\( k \)[/tex]-ième racine cinquième de [tex]\( z \)[/tex] est donnée par :
[tex]\[ z_k = \sqrt[5]{|z|} \left( \cos \left(\frac{\theta + 2k\pi}{5}\right) + i \sin \left(\frac{\theta + 2k\pi}{5}\right) \right) \][/tex]
Le module de chaque racine est :
[tex]\[ \sqrt[5]{|z|} = \sqrt[5]{2} \][/tex]
L’argument de chaque racine est :
[tex]\[ \frac{\theta + 2k\pi}{5} = \frac{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{5} \][/tex]
En simplifiant :
[tex]\[ \frac{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{5} = -\frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \][/tex]
### Étape 4 : Calculer les valeurs spécifiques des racines
Pour [tex]\( k = 0, 1, 2, 3, 4 \)[/tex] :
- [tex]\( k = 0 \)[/tex]
[tex]\[ z_0 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{15}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 1 \)[/tex]
[tex]\[ z_1 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{7\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 2 \)[/tex]
[tex]\[ z_2 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{17\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{17\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 3 \)[/tex]
[tex]\[ z_3 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{27\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{27\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 4 \)[/tex]
[tex]\[ z_4 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{37\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{37\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
Ainsi, nous avons les cinq racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i \sqrt{3} \)[/tex].
Ces racines peuvent être converties sous forme cartésienne, mais cela nécessite un calcul supplémentaire.
1. Exprimer le nombre complexe en forme trigonométrique (ou exponentielle): Pour cela, nous devons d'abord trouver le module et l'argument de [tex]\( z \)[/tex].
2. Calculer les [tex]\(5\)[/tex] racines cinquièmes: Nous utiliserons la formule de De Moivre pour obtenir les racines.
### Étape 1 : Trouver le module et l'argument de [tex]\( z \)[/tex]
Le nombre complexe [tex]\( z \)[/tex] peut être exprimé comme [tex]\( z = x + yi \)[/tex] où [tex]\( x = 1 \)[/tex] et [tex]\( y = -\sqrt{3} \)[/tex].
Module de [tex]\( z \)[/tex] :
[tex]\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \][/tex]
Argument de [tex]\( z \)[/tex] :
L’argument de [tex]\( z \)[/tex], noté [tex]\( \theta \)[/tex], est l’angle que forme [tex]\( z \)[/tex] avec l’axe des abscisses dans le plan complexe.
[tex]\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \][/tex]
Sachant que [tex]\( \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)[/tex], cela donne :
[tex]\[ \theta = -\frac{\pi}{3} \][/tex]
### Étape 2 : Exprimer [tex]\( z \)[/tex] en forme trigonométrique
Nous pouvons alors écrire :
[tex]\[ z = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \][/tex]
### Étape 3 : Calculer les racines cinquièmes
Pour trouver les racines, nous utilisons la formule de De Moivre dérivée pour les racines [tex]\( n \)[/tex]-èmes.
Pour chaque [tex]\( k \)[/tex] (valant de [tex]\( 0 \)[/tex] à [tex]\( 4 \)[/tex]), la [tex]\( k \)[/tex]-ième racine cinquième de [tex]\( z \)[/tex] est donnée par :
[tex]\[ z_k = \sqrt[5]{|z|} \left( \cos \left(\frac{\theta + 2k\pi}{5}\right) + i \sin \left(\frac{\theta + 2k\pi}{5}\right) \right) \][/tex]
Le module de chaque racine est :
[tex]\[ \sqrt[5]{|z|} = \sqrt[5]{2} \][/tex]
L’argument de chaque racine est :
[tex]\[ \frac{\theta + 2k\pi}{5} = \frac{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{5} \][/tex]
En simplifiant :
[tex]\[ \frac{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{5} = -\frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \][/tex]
### Étape 4 : Calculer les valeurs spécifiques des racines
Pour [tex]\( k = 0, 1, 2, 3, 4 \)[/tex] :
- [tex]\( k = 0 \)[/tex]
[tex]\[ z_0 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{15}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 1 \)[/tex]
[tex]\[ z_1 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{7\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 2 \)[/tex]
[tex]\[ z_2 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{17\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{17\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 3 \)[/tex]
[tex]\[ z_3 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{27\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{27\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
- [tex]\( k = 4 \)[/tex]
[tex]\[ z_4 = \sqrt[5]{2} \left( \cos \left(\frac{37\pi}{15}\right) + i \sin \left(\frac{37\pi}{15}\right) \right) \][/tex]
Ainsi, nous avons les cinq racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i \sqrt{3} \)[/tex].
Ces racines peuvent être converties sous forme cartésienne, mais cela nécessite un calcul supplémentaire.
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