Get expert advice and community support for your questions on IDNLearn.com. Discover prompt and accurate answers from our community of experienced professionals.
Sagot :
Bien sûr ! Examinons ces questions en détail.
1) Suite [tex]\( U_n \)[/tex] définie par [tex]\( U_n = \frac{2n + 5}{n + 3} \)[/tex] pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]
### a) Calculer les 3 premiers termes ainsi que son 10ème terme
Calculons directement:
- Pour [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ U_1 = \frac{2 \cdot 1 + 5}{1 + 3} = \frac{7}{4} = 1.75 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_2 = \frac{2 \cdot 2 + 5}{2 + 3} = \frac{9}{5} = 1.8 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ U_3 = \frac{2 \cdot 3 + 5}{3 + 3} = \frac{11}{6} \approx 1.833 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ U_{10} = \frac{2 \cdot 10 + 5}{10 + 3} = \frac{25}{13} \approx 1.923 \][/tex]
### b) Étudier les variations de [tex]\( U_n \)[/tex]
Pour étudier les variations d'une suite, calculons sa dérivée. La dérivée de [tex]\( U_n \)[/tex] par rapport à [tex]\( n \)[/tex] est :
[tex]\[ \frac{d}{dn} \left(\frac{2n + 5}{n + 3}\right) = \frac{2}{n + 3} - \frac{2n + 5}{(n + 3)^2} = \frac{2(n + 3) - (2n + 5)}{(n + 3)^2} = \frac{6 - 5}{(n + 3)^2} = \frac{1}{(n + 3)^2} \][/tex]
Puisque le dénominateur [tex]\((n + 3)^2\)[/tex] est toujours positif pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex] et que le numérateur est la constante 1, la dérivée est toujours positive. Donc, la suite [tex]\( U_n \)[/tex] est strictement croissante.
### c) Calculer [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex] puis comparer les résultats
Calculons [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_n + 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} + 2 = \frac{2n + 5 + 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 + 2n + 6}{n + 3} = \frac{4n + 11}{n + 3} \][/tex]
[tex]\[ U_n - 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} - 2 = \frac{2n + 5 - 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 - 2n - 6}{n + 3} = \frac{-1}{n + 3} \][/tex]
Comparons-les :
[tex]\[ (U_n + 2) - (U_n - 2) = \frac{4n + 11}{n + 3} - \frac{-1}{n + 3} = \frac{4n + 11 + 1}{n + 3} = \frac{4n + 12}{n + 3} = 4 \][/tex]
Ce qui montre que [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] est toujours 4 unités plus élevé que [tex]\( U_n - 2 \)[/tex].
2) Montrer que [tex]\( U_n \)[/tex] est une suite périodique. [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex]
On utilise la définition donnée. La fonction cosinus est périodique, mais ici nous avons [tex]\( n^2 \)[/tex] à l'intérieur. La périodicité de [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] est moins évidente car [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] ne revient pas régulièrement à ses valeurs initiales pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]. Donc, la suite [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex] n'est en général pas périodique.
Complexe:
### 1) Déterminer les racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i\sqrt{3} \)[/tex]
Pour trouver les racines cinquièmes d'un nombre complexe, il existe deux méthodes principales : la méthode trigonométrique et la méthode algébrique. Les racines cinquièmes de [tex]\( z \)[/tex] sont :
[tex]\[ \{(1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{2/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{4/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{1/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{3/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}\} \][/tex]
### 2) Déterminer la forme algébrique et la forme matricielle des nombres complexes.
Pour trouver les formes algébrique et matricielle des complexes suivants :
Pour chaque nombre complexe [tex]\( Z \)[/tex], nous trouvons leur forme algébrique classique, puis les convertissons en formes matricielles.
- [tex]\( Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_1 = \frac{(2i + 5) (3 - 4i)}{(4i + 3)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 5 - 4i \cdot 5 + 2i \cdot 3 - 2i \cdot (-4i)}{3^2 + (4i)^2} = \frac{15 - 20i + 6i + 8}{25} = \frac{3 - 4i}{5}(3 + 2* i) \][/tex]
- [tex]\( Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \times \frac{4i - 8}{4i - 8} = \frac{4i - 8}{(4i)^2 + 8^2} = \frac{4i - 8}{80} = \frac{4i - 8}{8} * \frac{1}{10} \][/tex]
- [tex]\( Z_3 = \frac{1 + 1}{2i + 3} \)[/tex] :
[tex]\[ Z_3 = \frac{2}{2i + 3} \times \frac{3 - 2i}{3 - 2i}= \frac{2*3 -2i 2}{9 - 4}-\times \frac{1}{13} \][/tex]
- [tex]\( Z_4 = \frac{3i + 5}{i} \)[/tex]
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 5}{i} = -i(3i)=5-i \][/tex]
J'espère que cela vous est utile ! Si vous avez des questions supplémentaires à ce sujet, n'hésitez pas à demander.
1) Suite [tex]\( U_n \)[/tex] définie par [tex]\( U_n = \frac{2n + 5}{n + 3} \)[/tex] pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]
### a) Calculer les 3 premiers termes ainsi que son 10ème terme
Calculons directement:
- Pour [tex]\( n = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ U_1 = \frac{2 \cdot 1 + 5}{1 + 3} = \frac{7}{4} = 1.75 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_2 = \frac{2 \cdot 2 + 5}{2 + 3} = \frac{9}{5} = 1.8 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ U_3 = \frac{2 \cdot 3 + 5}{3 + 3} = \frac{11}{6} \approx 1.833 \][/tex]
- Pour [tex]\( n = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ U_{10} = \frac{2 \cdot 10 + 5}{10 + 3} = \frac{25}{13} \approx 1.923 \][/tex]
### b) Étudier les variations de [tex]\( U_n \)[/tex]
Pour étudier les variations d'une suite, calculons sa dérivée. La dérivée de [tex]\( U_n \)[/tex] par rapport à [tex]\( n \)[/tex] est :
[tex]\[ \frac{d}{dn} \left(\frac{2n + 5}{n + 3}\right) = \frac{2}{n + 3} - \frac{2n + 5}{(n + 3)^2} = \frac{2(n + 3) - (2n + 5)}{(n + 3)^2} = \frac{6 - 5}{(n + 3)^2} = \frac{1}{(n + 3)^2} \][/tex]
Puisque le dénominateur [tex]\((n + 3)^2\)[/tex] est toujours positif pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex] et que le numérateur est la constante 1, la dérivée est toujours positive. Donc, la suite [tex]\( U_n \)[/tex] est strictement croissante.
### c) Calculer [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex] puis comparer les résultats
Calculons [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] et [tex]\( U_n - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ U_n + 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} + 2 = \frac{2n + 5 + 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 + 2n + 6}{n + 3} = \frac{4n + 11}{n + 3} \][/tex]
[tex]\[ U_n - 2 = \frac{2n + 5}{n + 3} - 2 = \frac{2n + 5 - 2(n + 3)}{n + 3} = \frac{2n + 5 - 2n - 6}{n + 3} = \frac{-1}{n + 3} \][/tex]
Comparons-les :
[tex]\[ (U_n + 2) - (U_n - 2) = \frac{4n + 11}{n + 3} - \frac{-1}{n + 3} = \frac{4n + 11 + 1}{n + 3} = \frac{4n + 12}{n + 3} = 4 \][/tex]
Ce qui montre que [tex]\( U_n + 2 \)[/tex] est toujours 4 unités plus élevé que [tex]\( U_n - 2 \)[/tex].
2) Montrer que [tex]\( U_n \)[/tex] est une suite périodique. [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex]
On utilise la définition donnée. La fonction cosinus est périodique, mais ici nous avons [tex]\( n^2 \)[/tex] à l'intérieur. La périodicité de [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] est moins évidente car [tex]\(\cos(n^2)\)[/tex] ne revient pas régulièrement à ses valeurs initiales pour [tex]\( n \in \mathbb{N} \)[/tex]. Donc, la suite [tex]\( U_n = \frac{\cos(n^2)}{4} \)[/tex] n'est en général pas périodique.
Complexe:
### 1) Déterminer les racines cinquièmes du nombre complexe [tex]\( z = 1 - i\sqrt{3} \)[/tex]
Pour trouver les racines cinquièmes d'un nombre complexe, il existe deux méthodes principales : la méthode trigonométrique et la méthode algébrique. Les racines cinquièmes de [tex]\( z \)[/tex] sont :
[tex]\[ \{(1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{2/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, (-1)^{4/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{1/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}, -(-1)^{3/5} (1 - i\sqrt{3})^{1/5}\} \][/tex]
### 2) Déterminer la forme algébrique et la forme matricielle des nombres complexes.
Pour trouver les formes algébrique et matricielle des complexes suivants :
Pour chaque nombre complexe [tex]\( Z \)[/tex], nous trouvons leur forme algébrique classique, puis les convertissons en formes matricielles.
- [tex]\( Z_1 = \frac{2i + 5}{4i + 3} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_1 = \frac{(2i + 5) (3 - 4i)}{(4i + 3)(3 - 4i)} = \frac{3 \cdot 5 - 4i \cdot 5 + 2i \cdot 3 - 2i \cdot (-4i)}{3^2 + (4i)^2} = \frac{15 - 20i + 6i + 8}{25} = \frac{3 - 4i}{5}(3 + 2* i) \][/tex]
- [tex]\( Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \)[/tex]:
[tex]\[ Z_2 = \frac{1}{4i + 8} \times \frac{4i - 8}{4i - 8} = \frac{4i - 8}{(4i)^2 + 8^2} = \frac{4i - 8}{80} = \frac{4i - 8}{8} * \frac{1}{10} \][/tex]
- [tex]\( Z_3 = \frac{1 + 1}{2i + 3} \)[/tex] :
[tex]\[ Z_3 = \frac{2}{2i + 3} \times \frac{3 - 2i}{3 - 2i}= \frac{2*3 -2i 2}{9 - 4}-\times \frac{1}{13} \][/tex]
- [tex]\( Z_4 = \frac{3i + 5}{i} \)[/tex]
[tex]\[ Z_4 = \frac{3i + 5}{i} = -i(3i)=5-i \][/tex]
J'espère que cela vous est utile ! Si vous avez des questions supplémentaires à ce sujet, n'hésitez pas à demander.
Thank you for using this platform to share and learn. Keep asking and answering. We appreciate every contribution you make. Your questions are important to us at IDNLearn.com. Thanks for stopping by, and come back for more reliable solutions.
