Claro, vamos a proceder a factorizar la expresión [tex]\(2x^2 + 7x + 5\)[/tex].
Para factorizar un trinomio cuadrático de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c\)[/tex], buscamos dos binomios de la forma [tex]\((px + q)(rx + s)\)[/tex] tales que al expandirlos obtengamos el trinomio original. Aquí están los pasos detallados:
1. Identificar [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], y [tex]\(c\)[/tex]:
- [tex]\(a = 2\)[/tex]
- [tex]\(b = 7\)[/tex]
- [tex]\(c = 5\)[/tex]
2. Multiplicar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
- [tex]\(a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10\)[/tex]
3. Encontrar dos números que al multiplicarse den [tex]\(ac\)[/tex] y al sumarse den [tex]\(b\)[/tex]:
- Buscamos dos números cuyo producto sea 10 y cuya suma sea 7.
- Estos números son 2 y 5.
4. Descomponer el término medio utilizando estos números:
- Rewrite [tex]\(7x\)[/tex] as [tex]\(2x + 5x\)[/tex].
- La expresión se convierte en: [tex]\(2x^2 + 2x + 5x + 5\)[/tex].
5. Agrupar y factorizar:
- Agrupamos los términos de a pares: [tex]\((2x^2 + 2x) + (5x + 5)\)[/tex].
- Factorizamos cada grupo:
- [tex]\(2x(x + 1) + 5(x + 1)\)[/tex].
6. Sacar factor común:
- El término común es [tex]\((x + 1)\)[/tex], así que factorizamos:
- [tex]\((2x + 5)(x + 1)\)[/tex].
Entonces, la factorización de [tex]\(2x^2 + 7x + 5\)[/tex] es:
[tex]\[ (2x + 5)(x + 1) \][/tex]
En resumen, la expresión factorizada es [tex]\((2x + 5)(x + 1)\)[/tex].
