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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver el sistema de ecuaciones que se nos ha dado. Las ecuaciones son:
[tex]\[ X + Y = A + 2B \][/tex]
[tex]\[ X - Y = -A + B \][/tex]
donde:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 1: Calcular [tex]\(A + 2B\)[/tex]
Primero, encontremos [tex]\(2B\)[/tex]:
[tex]\[ 2B = 2 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \][/tex]
Ahora, sumemos [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(2B\)[/tex]:
[tex]\[ A + 2B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 8 \\ 2 + 0 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\(-A + B\)[/tex]
Primero, encontremos [tex]\(-A\)[/tex]:
[tex]\[ -A = - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \][/tex]
Ahora, sumemos [tex]\(-A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\[ -A + B = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 4 \\ -2 + 0 \\ -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 3: Resolver para [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex]
Para resolver [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex], sumamos y restamos las ecuaciones dadas:
1. Sumar las dos ecuaciones:
[tex]\[ (X + Y) + (X - Y) = (A + 2B) + (-A + B) \][/tex]
[tex]\[ 2X = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4.5 \end{pmatrix} \][/tex]
2. Restar la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (X + Y) - (X - Y) = (A + 2B) - (-A + B) \][/tex]
[tex]\[ 2Y = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \][/tex]
### Resultados Finales
Las soluciones para las matrices [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex] son:
[tex]\[ X = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4.5 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \][/tex]
Adicionalmente, las expresiones intermedias que encontramos son:
[tex]\[ A + 2B = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad -A + B = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ X + Y = A + 2B \][/tex]
[tex]\[ X - Y = -A + B \][/tex]
donde:
[tex]\[ A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 1: Calcular [tex]\(A + 2B\)[/tex]
Primero, encontremos [tex]\(2B\)[/tex]:
[tex]\[ 2B = 2 \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \][/tex]
Ahora, sumemos [tex]\(A\)[/tex] y [tex]\(2B\)[/tex]:
[tex]\[ A + 2B = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 8 \\ 2 + 0 \\ 1 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\(-A + B\)[/tex]
Primero, encontremos [tex]\(-A\)[/tex]:
[tex]\[ -A = - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \][/tex]
Ahora, sumemos [tex]\(-A\)[/tex] y [tex]\(B\)[/tex]:
[tex]\[ -A + B = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 4 \\ -2 + 0 \\ -1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \][/tex]
### Paso 3: Resolver para [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex]
Para resolver [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex], sumamos y restamos las ecuaciones dadas:
1. Sumar las dos ecuaciones:
[tex]\[ (X + Y) + (X - Y) = (A + 2B) + (-A + B) \][/tex]
[tex]\[ 2X = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -12 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4.5 \end{pmatrix} \][/tex]
2. Restar la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (X + Y) - (X - Y) = (A + 2B) - (-A + B) \][/tex]
[tex]\[ 2Y = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \][/tex]
[tex]\[ Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \][/tex]
### Resultados Finales
Las soluciones para las matrices [tex]\(X\)[/tex] y [tex]\(Y\)[/tex] son:
[tex]\[ X = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 4.5 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2.5 \end{pmatrix} \][/tex]
Adicionalmente, las expresiones intermedias que encontramos son:
[tex]\[ A + 2B = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad -A + B = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \][/tex]
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