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Sagot :
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales:
[tex]\[ \begin{cases} 2x + y = \frac{5}{4} \\ x + 2y = 1 \end{cases} \][/tex]
sigamos los siguientes pasos:
1. Escribir las ecuaciones:
[tex]\[ \begin{aligned} 2x + y &= \frac{5}{4} \quad \text{(Ecuación 1)} \\ x + 2y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{aligned} \][/tex]
2. Despejar una variable en una de las ecuaciones. Vamos a despejar [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex] usando la Ecuación 2:
[tex]\[ x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - x \implies y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Sustituir la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la otra ecuación. Sustituimos [tex]\( y = \frac{1 - x}{2} \)[/tex] en la Ecuación 1:
[tex]\[ 2x + \left(\frac{1 - x}{2}\right) = \frac{5}{4} \][/tex]
4. Despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + \frac{1 - x}{2} = \frac{5}{4} \][/tex]
Multiplicamos todo por 2 para deshacernos del denominador:
[tex]\[ 4x + (1 - x) = \frac{5}{2} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 4x + 1 - x = \frac{5}{2} \][/tex]
[tex]\[ 3x + 1 = \frac{5}{2} \][/tex]
Restamos 1 de ambos lados:
[tex]\[ 3x = \frac{5}{2} - 1 \implies 3x = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} \implies 3x = \frac{3}{2} \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 3:
[tex]\[ x = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{2} \][/tex]
5. Encontrar el valor de [tex]\( y \)[/tex] usando la Ecuación 2 o la expresión obtenida en el paso 2:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \][/tex]
Así, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ \left( x, y \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \][/tex]
[tex]\[ \begin{cases} 2x + y = \frac{5}{4} \\ x + 2y = 1 \end{cases} \][/tex]
sigamos los siguientes pasos:
1. Escribir las ecuaciones:
[tex]\[ \begin{aligned} 2x + y &= \frac{5}{4} \quad \text{(Ecuación 1)} \\ x + 2y &= 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{aligned} \][/tex]
2. Despejar una variable en una de las ecuaciones. Vamos a despejar [tex]\( y \)[/tex] en términos de [tex]\( x \)[/tex] usando la Ecuación 2:
[tex]\[ x + 2y = 1 \implies 2y = 1 - x \implies y = \frac{1 - x}{2} \][/tex]
3. Sustituir la expresión de [tex]\( y \)[/tex] en la otra ecuación. Sustituimos [tex]\( y = \frac{1 - x}{2} \)[/tex] en la Ecuación 1:
[tex]\[ 2x + \left(\frac{1 - x}{2}\right) = \frac{5}{4} \][/tex]
4. Despejar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 2x + \frac{1 - x}{2} = \frac{5}{4} \][/tex]
Multiplicamos todo por 2 para deshacernos del denominador:
[tex]\[ 4x + (1 - x) = \frac{5}{2} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ 4x + 1 - x = \frac{5}{2} \][/tex]
[tex]\[ 3x + 1 = \frac{5}{2} \][/tex]
Restamos 1 de ambos lados:
[tex]\[ 3x = \frac{5}{2} - 1 \implies 3x = \frac{5}{2} - \frac{2}{2} \implies 3x = \frac{3}{2} \][/tex]
Dividimos ambos lados entre 3:
[tex]\[ x = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{2} \][/tex]
5. Encontrar el valor de [tex]\( y \)[/tex] usando la Ecuación 2 o la expresión obtenida en el paso 2:
[tex]\[ y = \frac{1 - x}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} \][/tex]
Así, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ \left( x, y \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right) \][/tex]
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