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### Taller práctico

DCCD: M.5.1.10. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (infinitas soluciones), utilizando los métodos de sustitución o eliminación gaussiana.

1. Analiza y determina las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales diagonal, triangular superior y triangular inferiores.

a) En el sistema de ecuaciones lineales diagonal, definido como:
[tex]\[
(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \quad \text{tal que} \quad \left\{
\begin{aligned}
2x &= 11, \\
-3y &= 0, \\
5z &= -5,
\end{aligned}
\right.
\][/tex]
¿Cuáles son las soluciones? Verifica tu respuesta.

b) En el sistema de ecuaciones lineal triangular superior, definido como:
[tex]\[
(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \quad \text{tal que} \quad \left\{
\begin{aligned}
x + 2y + 3z &= 11, \\
-y - 2z &= 0, \\
5z &= -5,
\end{aligned}
\right.
\][/tex]
¿Cuáles son las soluciones?

\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline & & & & & & & & & & \multicolumn{1}{|}{} \\
\hline & & & & & & & & & & & \\
\hline & & & & & & & & & & & \\
\hline & & & & & & & & & & & & \\
\hline
\end{tabular}

c) En el sistema de ecuaciones lineales triangular inferior, definido por:
[tex]\[
(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \quad \text{tal que} \quad \left\{
\begin{aligned}
2x &= 4, \\
3x + 4y &= 18, \\
-3x + 4y + z &= 11,
\end{aligned}
\right.
\][/tex]
¿Cuáles son las soluciones?

Sagot :

GinnyAnsweridn
Claro, vamos a resolver cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales y verificar las soluciones de acuerdo con los métodos de sustitución y eliminación gaussiana.

### a) Sistema de ecuaciones lineales diagonal

[tex]\[ \begin{cases} 2x = 11 \\ -3y = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]

Para resolver este sistema de ecuaciones, podemos resolver cada una de las ecuaciones individualmente:

1. Para [tex]\(2x = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{11}{2} = 5.5 \][/tex]

2. Para [tex]\(-3y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{0}{-3} = 0 \][/tex]

3. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]

Entonces, las soluciones del sistema diagonal son:
[tex]\[ (x, y, z) = (5.5, 0, -1) \][/tex]

### b) Sistema de ecuaciones lineales triangular superior

[tex]\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 11 \\ -y - 2z = 0 \\ 5z = -5 \\ \end{cases} \][/tex]

Para resolver este sistema, empezamos desde la última ecuación y trabajamos hacia la primera:

1. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]

2. Sustituimos [tex]\(z = -1\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(-y - 2z = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -y - 2(-1) = 0 \Rightarrow -y + 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \][/tex]

3. Sustituimos [tex]\(y = 2\)[/tex] y [tex]\(z = -1\)[/tex] en la primera ecuación [tex]\(x + 2y + 3z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2(2) + 3(-1) = 11 \Rightarrow x + 4 - 3 = 11 \Rightarrow x + 1 = 11 \Rightarrow x = 10 \][/tex]

Entonces, las soluciones del sistema triangular superior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (10, 2, -1) \][/tex]

### c) Sistema de ecuaciones lineales triangular inferior

[tex]\[ \begin{cases} 2x = 4 \\ 3x + 4y = 18 \\ -3x + 4y + z = 11 \\ \end{cases} \][/tex]

Para resolver este sistema, empezamos desde la primera ecuación y trabajamos hacia la última:

1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]

2. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\(3x + 4y = 18\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 4y = 18 \Rightarrow 6 + 4y = 18 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3 \][/tex]

3. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] en la tercera ecuación [tex]\(-3x + 4y + z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ -3(2) + 4(3) + z = 11 \Rightarrow -6 + 12 + z = 11 \Rightarrow 6 + z = 11 \Rightarrow z = 5 \][/tex]

Entonces, las soluciones del sistema triangular inferior son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2, 3, 5) \][/tex]

Con esto, hemos resuelto y verificado las soluciones para cada uno de los sistemas de ecuaciones lineales propuestos.
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