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Sagot :
Para resolver los sistemas de ecuaciones lineales mencionados, vamos a describir el procedimiento paso a paso:
### Sistema de ecuaciones lineales diagonal
Un sistema de ecuaciones diagonal tiene la forma:
[tex]\[ \begin{cases} a \cdot x = b \\ b \cdot y = c \\ c \cdot z = d \end{cases} \][/tex]
Para resolverlo, simplemente aislamos cada variable dividiendo ambos lados de cada ecuación por el coeficiente respectivo:
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 4 \\ 3y = 9 \\ 4z = 8 \end{cases} \][/tex]
Procedemos a resolver cada ecuación por separado:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Para [tex]\(3y = 9\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{9}{3} = 3 \][/tex]
3. Para [tex]\(4z = 8\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{8}{4} = 2 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2.0, 3.0, 2.0) \][/tex]
### Sistema de ecuaciones lineal triangular superior
Un sistema de ecuaciones triangular superior tiene la forma:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} x + a_1 y + a_2 z &= b_1, \\ b_3 y + b_4 z &= b_2, \\ c_5 z &= b_3 \end{aligned} \right. \][/tex]
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} x + 2y + 3z &= 11, \\ -y - 2z &= 0, \\ 5z &= -5 \end{aligned} \right. \][/tex]
Resolvemos de la última ecuación a la primera:
1. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z = -1\)[/tex] en [tex]\(-y - 2z = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -y - 2(-1) = 0 \implies -y + 2 = 0 \implies y = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(y = 2\)[/tex] y [tex]\(z = -1\)[/tex] en [tex]\(x + 2y + 3z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2(2) + 3(-1) = 11 \implies x + 4 - 3 = 11 \implies x + 1 = 11 \implies x = 10 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (10, 2, -1) \][/tex]
### Sistema de ecuaciones lineales triangular inferior
Un sistema de ecuaciones triangular inferior tiene la forma:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} a_1 x &= b_1, \\ a_2 x + b_3 y &= b_2, \\ a_3 x + b_4 y + c_5 z &= b_3 \end{aligned} \right. \][/tex]
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} 2x &= 4, \\ 3x + 4y &= 18, \\ -3x + 4y + z &= 11 \end{aligned} \right. \][/tex]
Resolvemos de la primera ecuación a la última:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en [tex]\(3x + 4y = 18\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 4y = 18 \implies 6 + 4y = 18 \implies 4y = 12 \implies y = 3 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] en [tex]\(-3x + 4y + z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ -3(2) + 4(3) + z = 11 \implies -6 + 12 + z = 11 \implies 6 + z = 11 \implies z = 5 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2, 3, 5) \][/tex]
### Sistema de ecuaciones lineales diagonal
Un sistema de ecuaciones diagonal tiene la forma:
[tex]\[ \begin{cases} a \cdot x = b \\ b \cdot y = c \\ c \cdot z = d \end{cases} \][/tex]
Para resolverlo, simplemente aislamos cada variable dividiendo ambos lados de cada ecuación por el coeficiente respectivo:
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \begin{cases} 2x = 4 \\ 3y = 9 \\ 4z = 8 \end{cases} \][/tex]
Procedemos a resolver cada ecuación por separado:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Para [tex]\(3y = 9\)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{9}{3} = 3 \][/tex]
3. Para [tex]\(4z = 8\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{8}{4} = 2 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2.0, 3.0, 2.0) \][/tex]
### Sistema de ecuaciones lineal triangular superior
Un sistema de ecuaciones triangular superior tiene la forma:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} x + a_1 y + a_2 z &= b_1, \\ b_3 y + b_4 z &= b_2, \\ c_5 z &= b_3 \end{aligned} \right. \][/tex]
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} x + 2y + 3z &= 11, \\ -y - 2z &= 0, \\ 5z &= -5 \end{aligned} \right. \][/tex]
Resolvemos de la última ecuación a la primera:
1. Para [tex]\(5z = -5\)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{-5}{5} = -1 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(z = -1\)[/tex] en [tex]\(-y - 2z = 0\)[/tex]:
[tex]\[ -y - 2(-1) = 0 \implies -y + 2 = 0 \implies y = 2 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(y = 2\)[/tex] y [tex]\(z = -1\)[/tex] en [tex]\(x + 2y + 3z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ x + 2(2) + 3(-1) = 11 \implies x + 4 - 3 = 11 \implies x + 1 = 11 \implies x = 10 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (10, 2, -1) \][/tex]
### Sistema de ecuaciones lineales triangular inferior
Un sistema de ecuaciones triangular inferior tiene la forma:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} a_1 x &= b_1, \\ a_2 x + b_3 y &= b_2, \\ a_3 x + b_4 y + c_5 z &= b_3 \end{aligned} \right. \][/tex]
Dado el sistema específico:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} 2x &= 4, \\ 3x + 4y &= 18, \\ -3x + 4y + z &= 11 \end{aligned} \right. \][/tex]
Resolvemos de la primera ecuación a la última:
1. Para [tex]\(2x = 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{4}{2} = 2 \][/tex]
2. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] en [tex]\(3x + 4y = 18\)[/tex]:
[tex]\[ 3(2) + 4y = 18 \implies 6 + 4y = 18 \implies 4y = 12 \implies y = 3 \][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(x = 2\)[/tex] y [tex]\(y = 3\)[/tex] en [tex]\(-3x + 4y + z = 11\)[/tex]:
[tex]\[ -3(2) + 4(3) + z = 11 \implies -6 + 12 + z = 11 \implies 6 + z = 11 \implies z = 5 \][/tex]
Así, las soluciones son:
[tex]\[ (x, y, z) = (2, 3, 5) \][/tex]
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