Para resolver la ecuación cuadrática [tex]\(7x^2 + 40x - 12 = 0\)[/tex], seguimos estos pasos detallados:
1. Identificar los coeficientes:
- Coeficiente del término cuadrático ([tex]\(a\)[/tex]): [tex]\(7\)[/tex]
- Coeficiente del término lineal ([tex]\(b\)[/tex]): [tex]\(40\)[/tex]
- Término constante ([tex]\(c\)[/tex]): [tex]\(-12\)[/tex]
2. Calcular el discriminante:
El discriminante ([tex]\(\Delta\)[/tex]) de una ecuación cuadrática se calcula con la fórmula:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac
\][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
\Delta = 40^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 1600 + 336 = 1936
\][/tex]
3. Determinar la naturaleza de las raíces:
El valor del discriminante ([tex]\(\Delta = 1936\)[/tex]) es positivo, indicando que la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
4. Calcular las soluciones usando la fórmula cuadrática:
Las soluciones de la ecuación cuadrática se obtienen con:
[tex]\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}}
\][/tex]
- Para la primera solución ([tex]\(x_1\)[/tex]):
[tex]\[
x_1 = \frac{{-40 + \sqrt{1936}}}{{2 \cdot 7}} = \frac{{-40 + 44}}{{14}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \approx 0.2857142857142857
\][/tex]
- Para la segunda solución ([tex]\(x_2\)[/tex]):
[tex]\[
x_2 = \frac{{-40 - \sqrt{1936}}}{{2 \cdot 7}} = \frac{{-40 - 44}}{{14}} = \frac{-84}{14} = -6
\][/tex]
5. Conclusiones:
Las soluciones de la ecuación [tex]\(7x^2 + 40x - 12 = 0\)[/tex] son:
[tex]\[
x_1 \approx 0.2857142857142857 \quad \text{y} \quad x_2 = -6.
\][/tex]
