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Sagot :
Vamos a abordar esta reducción utilizando la racionalización para cada término de la expresión [tex]\( K \)[/tex].
Primero, racionalicemos el primer término:
[tex]\[ \frac{3}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{3}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 9 \cdot 2 = 12 - 18 = -6 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{-6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{-2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{2} \][/tex]
Ahora racionalicemos el segundo término:
[tex]\[ \frac{5}{\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{5}{\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 2 - 12 = -10 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{5(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{-10} = \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} \][/tex]
Por último, racionalicemos el tercer término:
[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \][/tex]
Ahora, sumemos todas las fracciones simplificadas:
[tex]\[ -\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \][/tex]
Simplificamos combinando términos semejantes:
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{8\sqrt{2}}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \][/tex]
Todo este procedimiento resulta:
[tex]\[ K = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
Primero, racionalicemos el primer término:
[tex]\[ \frac{3}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{3}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3 - 9 \cdot 2 = 12 - 18 = -6 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{3(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{-6} = \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{-2} = -\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{2} \][/tex]
Ahora racionalicemos el segundo término:
[tex]\[ \frac{5}{\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{5}{\sqrt{2} - 2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}} = \frac{5(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 2 - 12 = -10 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{5(\sqrt{2} + 2\sqrt{3})}{-10} = \frac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{-2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} \][/tex]
Por último, racionalicemos el tercer término:
[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \][/tex]
Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[ \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \][/tex]
El denominador se simplifica usando la diferencia de cuadrados:
[tex]\[ (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \][/tex]
Ahora, sumemos todas las fracciones simplificadas:
[tex]\[ -\sqrt{3} - \frac{3}{2}\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} \][/tex]
Simplificamos combinando términos semejantes:
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - \left( \frac{8\sqrt{2}}{2} \right) \][/tex]
[tex]\[ -3\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \][/tex]
Todo este procedimiento resulta:
[tex]\[ K = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
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