Para resolver la cuestión, sigamos estos pasos:
1. Identificar las expresiones para los ángulos:
- Los ángulos menores del triángulo son [tex]\( 3x \)[/tex] y [tex]\( x - 20^\circ \)[/tex].
- Llamaremos a los ángulos menores: [tex]\( \theta_1 = 3x \)[/tex] y [tex]\( \theta_2 = x - 20^\circ \)[/tex].
2. Establecer la propiedad de la suma de los ángulos en un triángulo:
- La suma de los tres ángulos en cualquier triángulo es [tex]\( 180^\circ \)[/tex]. Entonces, si [tex]\( \theta_3 \)[/tex] es el ángulo obtuso del triángulo, tenemos:
[tex]\[
\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = 180^\circ
\][/tex]
3. Substituir los valores conocidos:
- Sustituimos [tex]\( \theta_1 \)[/tex] y [tex]\( \theta_2 \)[/tex] en la ecuación:
[tex]\[
3x + (x - 20^\circ) + \theta_3 = 180^\circ
\][/tex]
4. Simplificar la ecuación:
- Combinamos términos semejantes:
[tex]\[
4x - 20^\circ + \theta_3 = 180^\circ
\][/tex]
5. Despejar [tex]\( \theta_3 \)[/tex]:
- Aislamos [tex]\( \theta_3 \)[/tex] en un lado de la ecuación:
[tex]\[
\theta_3 = 180^\circ - 4x + 20^\circ
\][/tex]
[tex]\[
\theta_3 = 200^\circ - 4x
\][/tex]
6. Condiciones para el ángulo obtuso:
- Sabemos que [tex]\( \theta_3 \)[/tex] debe ser mayor de [tex]\( 90^\circ \)[/tex]:
[tex]\[
200^\circ - 4x > 90^\circ
\][/tex]
7. Resolver la inecuación:
- Simplificamos para encontrar el valor de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
200^\circ - 4x > 90^\circ
\][/tex]
[tex]\[
200^\circ - 90^\circ > 4x
\][/tex]
[tex]\[
110^\circ > 4x
\][/tex]
[tex]\[
x < \frac{110^\circ}{4}
\][/tex]
[tex]\[
x < 27.5
\][/tex]
8. Mayor valor entero de [tex]\( x \)[/tex]:
- El valor máximo entero que cumple la condición [tex]\( x < 27.5 \)[/tex] es [tex]\( x = 27 \)[/tex].
Por lo tanto, el mayor valor entero de [tex]\( x \)[/tex] que cumple las condiciones dadas es [tex]\( \boxed{27} \)[/tex].
