Para resolver estos productos sin efectuar explícitamente la multiplicación, vamos a aplicar la fórmula de productos notables conocida como la diferencia de cuadrados. La diferencia de cuadrados nos dice que:
[tex]\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2.
\][/tex]
Aplicando esta fórmula a cada uno de los casos dados, obtenemos:
1. [tex]\((x - y) \cdot (x + y)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = x\)[/tex] y [tex]\(b = y\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(x - y) \cdot (x + y) = x^2 - y^2.
\][/tex]
2. [tex]\((2a - 1) \cdot (2a + 1)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = 2a\)[/tex] y [tex]\(b = 1\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(2a - 1) \cdot (2a + 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1.
\][/tex]
3. [tex]\((1 - 3ax) \cdot (1 + 3ax)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = 1\)[/tex] y [tex]\(b = 3ax\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(1 - 3ax) \cdot (1 + 3ax) = 1^2 - (3ax)^2 = 1 - 9a^2x^2.
\][/tex]
4. [tex]\((a - b) \cdot (a + b)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = a\)[/tex] y [tex]\(b = b\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2.
\][/tex]
5. [tex]\((a - x) \cdot (a + x)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = a\)[/tex] y [tex]\(b = x\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(a - x) \cdot (a + x) = a^2 - x^2.
\][/tex]
6. [tex]\((m + n) \cdot (m - n)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = m\)[/tex] y [tex]\(b = n\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
(m + n) \cdot (m - n) = m^2 - n^2.
\][/tex]
7. [tex]\(\left( \frac{1}{4} m + \frac{2}{5} n \right) \cdot \left( \frac{1}{4} m - \frac{2}{5} n \right)\)[/tex]
Aquí, [tex]\(a = \frac{1}{4}m\)[/tex] y [tex]\(b = \frac{2}{5}n\)[/tex], por lo tanto:
[tex]\[
\left( \frac{1}{4} m + \frac{2}{5} n \right) \cdot \left( \frac{1}{4} m - \frac{2}{5} n \right) = \left(\frac{1}{4}m \right)^2 - \left(\frac{2}{5}n \right)^2 = \frac{1}{16}m^2 - \frac{4}{25}n^2.
\][/tex]
En resumen, los productos hallados sin realizar la multiplicación explícita son:
[tex]\[
\begin{array}{l}
(x-y) \cdot(x+y) = x^2 - y^2 \\
(2 a-1) \cdot(2 a+1) = 4a^2 - 1 \\
(1-3 a x) \cdot(1+3 a x) = 1 - 9a^2x^2 \\
(a-b) \cdot(a+b) = a^2 - b^2 \\
(a-x) \cdot(a+x) = a^2 - x^2 \\
(m+n) \cdot(m-n) = m^2 - n^2 \\
\left( \frac{1}{4} m + \frac{2}{5} n \right) \cdot \left( \frac{1}{4} m - \frac{2}{5} n \right) = \frac{1}{16}m^2 - \frac{4}{25}n^2 \\
\end{array}
\][/tex]
