Para factorizar la expresión [tex]\( \frac{k^8}{4} - 9k^4 + 81 \)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identificar una estructura reconocible:
Observamos que la expresión puede asemejarse a la forma de un trinomio cuadrado perfecto o la diferencia de cuadrados.
2. Cambio de variable (si es necesario):
A veces es útil hacer un cambio de variable para simplificar el proceso de factorización. En este caso, podemos notar que [tex]\( k^8 \)[/tex] y [tex]\( k^4 \)[/tex] son términos con poderes que pueden sugerir la presencia de un cuadrado.
3. Reescribir la expresión en términos de [tex]\( k^4 \)[/tex]:
Observemos que [tex]\( (k^4)^2 = k^8 \)[/tex]. Por lo tanto, la expresión puede reescribirse como:
[tex]\[
\frac{(k^4)^2}{4} - 9(k^4) + 81
\][/tex]
4. Simplificar los coeficientes:
Vamos a simplificar cada término:
[tex]\[
\frac{(k^4)^2}{4} = \frac{k^8}{4}
\][/tex]
[tex]\[
9(k^4) = 9k^4
\][/tex]
[tex]\[
81 = 81
\][/tex]
5. Buscar una factorización adecuada:
Podemos intentar reescribir la expresión original buscando factores comunes o formas cuadráticas:
[tex]\[
\frac{k^8}{4} - 9k^4 + 81
\][/tex]
6. Identificar una estructura cuadrática perfecta:
Si escribimos [tex]\( \frac{k^8}{4} - 18k^4 + 81 \)[/tex] en la forma de un cuadrado, observamos lo siguiente:
[tex]\[
\left(\frac{k^4}{2}\right)^2 - 18k^4 + 81
\][/tex]
Al tratar de factorizarlo de acuerdo a la forma compleja de un trinomio cuadrado, obtenemos:
[tex]\[
\left( \frac{k^4}{2} - 9 \right)^2
\][/tex]
es un trinomio cuadrado perfecto.
7. Factorizar la expresión completa:
Si reconocemos la forma cuadrática perfecta, podemos escribir:
[tex]\[
\left( \frac{k^4}{2} - 9 \right)^2
\][/tex]
Reposicionando los términos de la solución para recuperar la factorización obtenemos finalmente:
[tex]\[
\frac{(k^4 - 18)^2}{4}
\][/tex]
Por lo tanto, la factorización de la expresión dada es:
[tex]\[
\frac{(k^4 - 18)^2}{4}
\][/tex]
