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Sagot :
Claro, vamos a analizar cada una de las proposiciones indicadas y justificar si son verdaderas o falsas:
### a) Para obtener rectas paralelas a [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 3 \)[/tex], basta con cambiar la ordenada al origen.
Verdadera.
Justificación:
Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. La pendiente de la recta [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 3 \)[/tex] es [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex]. Si queremos obtener rectas paralelas, es suficiente mantener la misma pendiente y cambiar la ordenada al origen (el término constante). Por ejemplo, [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 4 \)[/tex] y [tex]\( y = \frac{1}{5} x - 2 \)[/tex] son paralelas a la recta dada ya que todas tienen la misma pendiente [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex] pero diferentes ordenadas al origen.
### b) Se puede encontrar dos rectas paralelas distintas que tengan la misma ordenada al origen.
Falsa.
Justificación:
Si dos rectas tienen la misma ordenada al origen, significa que ambas se cortan en el mismo punto con el eje y. Para que sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Sin embargo, si tienen la misma ordenada al origen y la misma pendiente, entonces en realidad son la misma recta, no dos rectas distintas. Por ejemplo, las rectas [tex]\( y = \frac{1}{5}x + 3 \)[/tex] y [tex]\( y = \frac{1}{5}x + 3 \)[/tex] son la misma recta.
### c) Todas las rectas perpendiculares a [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] son paralelas entre sí.
Falsa.
Justificación:
Para que una recta sea perpendicular a otra, sus pendientes deben ser negativas recíprocas. La pendiente de la recta [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] es 2. Las pendientes de las rectas perpendiculares serán [tex]\( -\frac{1}{2} \)[/tex]. Aunque todas estas rectas perpendiculares tienen la misma pendiente [tex]\( -\frac{1}{2} \)[/tex], lo que las haría paralelas por definición, los puntos por donde pasan pueden ser diferentes. Esto implica que hay muchas rectas perpendiculares a [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] que no son paralelas entre sí ya que pasan por distintos puntos.
### d) Si una recta no es paralela a [tex]\( y = -3x + 2 \)[/tex], es perpendicular a ella.
Falsa.
Justificación:
Una recta que no es paralela a otra no necesariamente es perpendicular. Hay un número infinito de rectas que son ni paralelas ni perpendiculares a una recta dada. Por ejemplo, una recta con pendiente 1 no es paralela ni perpendicular a la recta [tex]\( y = -3x + 2 \)[/tex] (cuya pendiente es -3). Para ser perpendicular, una recta debería tener una pendiente que es el negativo recíproco de -3, es decir, [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex], pero hay muchas otras pendientes distintas a [tex]\( -3 \)[/tex] y [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex] que no cumplen ni con ser paralelas ni perpendiculares.
Como conclusión, las respuestas son:
- a) Verdadero
- b) Falsa
- c) Falsa
- d) Falsa
### a) Para obtener rectas paralelas a [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 3 \)[/tex], basta con cambiar la ordenada al origen.
Verdadera.
Justificación:
Para que dos rectas sean paralelas, deben tener la misma pendiente. La pendiente de la recta [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 3 \)[/tex] es [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex]. Si queremos obtener rectas paralelas, es suficiente mantener la misma pendiente y cambiar la ordenada al origen (el término constante). Por ejemplo, [tex]\( y = \frac{1}{5} x + 4 \)[/tex] y [tex]\( y = \frac{1}{5} x - 2 \)[/tex] son paralelas a la recta dada ya que todas tienen la misma pendiente [tex]\( \frac{1}{5} \)[/tex] pero diferentes ordenadas al origen.
### b) Se puede encontrar dos rectas paralelas distintas que tengan la misma ordenada al origen.
Falsa.
Justificación:
Si dos rectas tienen la misma ordenada al origen, significa que ambas se cortan en el mismo punto con el eje y. Para que sean paralelas, deben tener la misma pendiente. Sin embargo, si tienen la misma ordenada al origen y la misma pendiente, entonces en realidad son la misma recta, no dos rectas distintas. Por ejemplo, las rectas [tex]\( y = \frac{1}{5}x + 3 \)[/tex] y [tex]\( y = \frac{1}{5}x + 3 \)[/tex] son la misma recta.
### c) Todas las rectas perpendiculares a [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] son paralelas entre sí.
Falsa.
Justificación:
Para que una recta sea perpendicular a otra, sus pendientes deben ser negativas recíprocas. La pendiente de la recta [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] es 2. Las pendientes de las rectas perpendiculares serán [tex]\( -\frac{1}{2} \)[/tex]. Aunque todas estas rectas perpendiculares tienen la misma pendiente [tex]\( -\frac{1}{2} \)[/tex], lo que las haría paralelas por definición, los puntos por donde pasan pueden ser diferentes. Esto implica que hay muchas rectas perpendiculares a [tex]\( y = 2x - 1 \)[/tex] que no son paralelas entre sí ya que pasan por distintos puntos.
### d) Si una recta no es paralela a [tex]\( y = -3x + 2 \)[/tex], es perpendicular a ella.
Falsa.
Justificación:
Una recta que no es paralela a otra no necesariamente es perpendicular. Hay un número infinito de rectas que son ni paralelas ni perpendiculares a una recta dada. Por ejemplo, una recta con pendiente 1 no es paralela ni perpendicular a la recta [tex]\( y = -3x + 2 \)[/tex] (cuya pendiente es -3). Para ser perpendicular, una recta debería tener una pendiente que es el negativo recíproco de -3, es decir, [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex], pero hay muchas otras pendientes distintas a [tex]\( -3 \)[/tex] y [tex]\( \frac{1}{3} \)[/tex] que no cumplen ni con ser paralelas ni perpendiculares.
Como conclusión, las respuestas son:
- a) Verdadero
- b) Falsa
- c) Falsa
- d) Falsa
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