Para calcular el determinante de la matriz [tex]\( \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \end{array} \right| \)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Identificar la matriz: Vamos a trabajar con la matriz:
[tex]\[ A = \left| \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 5
\end{array} \right| \][/tex]
2. Seleccionar una fila o columna: Para facilitar el cálculo del determinante, seleccionamos la primera fila (puedes seleccionar cualquier fila o columna).
3. Aplicar la fórmula del determinante para una matriz 3x3:
[tex]\[
|A| = a_{11} \cdot \left| \begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| - a_{12} \cdot \left| \begin{array}{cc}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{array} \right| + a_{13} \cdot \left| \begin{array}{cc}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{array} \right|
\][/tex]
4. Sustituir los valores: Para nuestra matriz:
[tex]\[ a_{11} = 1, a_{12} = 2, a_{13} = 3 \][/tex]
[tex]\[ a_{21} = 1, a_{22} = 1, a_{23} = -1 \][/tex]
[tex]\[ a_{31} = 2, a_{32} = 0, a_{33} = 5 \][/tex]
5. Calcular los determinantes de las submatrices 2x2:
- Para el primer término:
[tex]\[
\left| \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 5
\end{array} \right| = (1 \cdot 5) - (-1 \cdot 0) = 5 - 0 = 5
\][/tex]
- Para el segundo término:
[tex]\[
\left| \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 5
\end{array} \right| = (1 \cdot 5) - (-1 \cdot 2) = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7
\][/tex]
- Para el tercer término:
[tex]\[
\left| \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 0
\end{array} \right| = (1 \cdot 0) - (1 \cdot 2) = 0 - 2 = -2
\][/tex]
6. Sustituir los cálculos y resolver:
[tex]\[
|A| = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-2)
\][/tex]
7. Realizar las operaciones:
[tex]\[
|A| = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 7 + 3 \cdot (-2) = 5 - 14 - 6 = 5 - 20 = -15
\][/tex]
Por lo tanto, el determinante de la matriz es [tex]\(-15\)[/tex].
