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Sagot :
Para resolver a inequação quadrática [tex]\( x^2 - 5x + 6 > 0 \)[/tex], seguimos os seguintes passos:
1. Encontrar as raízes da equação quadrática associada [tex]\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \][/tex]
Essa é uma equação quadrática padrão da forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usá-la para encontrar as raízes através da fórmula de Bhaskara:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
No caso desta equação:
[tex]\[ a = 1, \quad b = -5, \quad c = 6 \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \][/tex]
Então, temos duas raízes:
[tex]\[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \][/tex]
2. Determinar os intervalos de interesse:
Agora que sabemos que as raízes são [tex]\( x = 2 \)[/tex] e [tex]\( x = 3 \)[/tex], dividimos a reta numérica em três intervalos:
[tex]\[ (-\infty, 2), \quad (2, 3), \quad (3, \infty) \][/tex]
3. Analisar o sinal da expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] em cada intervalo:
Precisamos verificar o sinal da expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] em cada um dos intervalos.
- Para [tex]\( x < 2 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (-\infty, 2) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0^2 - 5(0) + 6 = 6 \quad (\text{positivo}) \][/tex]
- Para [tex]\( 2 < x < 3 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (2, 3) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 2,5 \)[/tex]:
[tex]\[ 2,5^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 \quad (\text{negativo}) \][/tex]
- Para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (3, \infty) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \quad (\text{positivo}) \][/tex]
4. Graficamente e através da análise dos sinais:
O gráfico da parábola [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] abre para cima (coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] é positivo) e intercepta o eixo [tex]\(x\)[/tex] nos pontos [tex]\( x = 2 \)[/tex] e [tex]\( x = 3 \)[/tex]. A expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] será positiva fora desses intervalos, dando origem aos intervalos:
[tex]\[ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \][/tex]
Portanto, a solução da inequação [tex]\( x^2 - 5x + 6 > 0 \)[/tex] é:
[tex]\[ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \][/tex]
1. Encontrar as raízes da equação quadrática associada [tex]\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \][/tex]
Essa é uma equação quadrática padrão da forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usá-la para encontrar as raízes através da fórmula de Bhaskara:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
No caso desta equação:
[tex]\[ a = 1, \quad b = -5, \quad c = 6 \][/tex]
Substituindo os valores:
[tex]\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \][/tex]
Então, temos duas raízes:
[tex]\[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \][/tex]
2. Determinar os intervalos de interesse:
Agora que sabemos que as raízes são [tex]\( x = 2 \)[/tex] e [tex]\( x = 3 \)[/tex], dividimos a reta numérica em três intervalos:
[tex]\[ (-\infty, 2), \quad (2, 3), \quad (3, \infty) \][/tex]
3. Analisar o sinal da expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] em cada intervalo:
Precisamos verificar o sinal da expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] em cada um dos intervalos.
- Para [tex]\( x < 2 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (-\infty, 2) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ 0^2 - 5(0) + 6 = 6 \quad (\text{positivo}) \][/tex]
- Para [tex]\( 2 < x < 3 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (2, 3) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 2,5 \)[/tex]:
[tex]\[ 2,5^2 - 5(2,5) + 6 = 6,25 - 12,5 + 6 = -0,25 \quad (\text{negativo}) \][/tex]
- Para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
Escolhemos um valor de teste no intervalo [tex]\( (3, \infty) \)[/tex], por exemplo, [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \quad (\text{positivo}) \][/tex]
4. Graficamente e através da análise dos sinais:
O gráfico da parábola [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] abre para cima (coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex] é positivo) e intercepta o eixo [tex]\(x\)[/tex] nos pontos [tex]\( x = 2 \)[/tex] e [tex]\( x = 3 \)[/tex]. A expressão [tex]\( x^2 - 5x + 6 \)[/tex] será positiva fora desses intervalos, dando origem aos intervalos:
[tex]\[ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \][/tex]
Portanto, a solução da inequação [tex]\( x^2 - 5x + 6 > 0 \)[/tex] é:
[tex]\[ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \][/tex]
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