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Sagot :
Claro, vamos a resolver esas ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general:
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(a\)[/tex] es el coeficiente del término [tex]\( x^2 \)[/tex],
- [tex]\(b\)[/tex] es el coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex],
- [tex]\(c\)[/tex] es el término constante.
Vamos a resolver cada una de las ecuaciones proporcionando una solución detallada paso a paso.
### Ecuación [tex]\(x^2 + 5x + 6 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 5\)[/tex], y [tex]\(c = 6\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 7x + 12 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 7\)[/tex], y [tex]\(c = 12\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm 1}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 2x + 1 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 2\)[/tex], y [tex]\(c = 1\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm 0}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
Por lo tanto, la única solución es [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 4x + 4 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex], y [tex]\(c = 4\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 0}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, la única solución es [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 6x + 8 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 6\)[/tex], y [tex]\(c = 8\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm 2}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = -4 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 11x + 10 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 11\)[/tex], y [tex]\(c = 10\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 11^2 - 4(1)(10) = 121 - 40 = 81 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-11 \pm 9}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-11 + 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-11 - 9}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = -10 \)[/tex].
### Resumen de Soluciones
- Para [tex]\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 7x + 12 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -1 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 6x + 8 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 11x + 10 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = -10 \)[/tex]
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Donde:
- [tex]\(a\)[/tex] es el coeficiente del término [tex]\( x^2 \)[/tex],
- [tex]\(b\)[/tex] es el coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex],
- [tex]\(c\)[/tex] es el término constante.
Vamos a resolver cada una de las ecuaciones proporcionando una solución detallada paso a paso.
### Ecuación [tex]\(x^2 + 5x + 6 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 5\)[/tex], y [tex]\(c = 6\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-5 \pm 1}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 7x + 12 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 7\)[/tex], y [tex]\(c = 12\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-7 \pm 1}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 2x + 1 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 2\)[/tex], y [tex]\(c = 1\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2 \pm 0}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
Por lo tanto, la única solución es [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 4x + 4 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 4\)[/tex], y [tex]\(c = 4\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 0}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, la única solución es [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 6x + 8 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 6\)[/tex], y [tex]\(c = 8\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-6 \pm 2}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -2 \)[/tex] y [tex]\( x = -4 \)[/tex].
### Ecuación [tex]\(x^2 + 11x + 10 = 0\)[/tex]
Para esta ecuación, [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 11\)[/tex], y [tex]\(c = 10\)[/tex].
1. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 11^2 - 4(1)(10) = 121 - 40 = 81 \][/tex]
2. Usamos la fórmula general:
[tex]\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-11 \pm 9}{2} \][/tex]
3. Obtenemos las raíces:
[tex]\[ x_1 = \frac{-11 + 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-11 - 9}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones son [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = -10 \)[/tex].
### Resumen de Soluciones
- Para [tex]\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -3 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 7x + 12 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -3 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -1 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 6x + 8 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -4 \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex]
- Para [tex]\( x^2 + 11x + 10 = 0 \)[/tex]: [tex]\( x = -1 \)[/tex] y [tex]\( x = -10 \)[/tex]
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