Claro, vamos a resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas paso a paso.
a. 2x² - 50 = 0
1. Empezamos con la ecuación:
[tex]\[
2x^2 - 50 = 0
\][/tex]
2. Sumamos 50 a ambos lados de la ecuación para aislar el término cuadrático:
[tex]\[
2x^2 = 50
\][/tex]
3. Dividimos ambos lados de la ecuación por 2 para simplificar:
[tex]\[
x^2 = 25
\][/tex]
4. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \pm \sqrt{25}
\][/tex]
Sabemos que la raíz cuadrada de 25 es 5. Entonces, tenemos dos soluciones:
[tex]\[
x = 5 \quad \text{y} \quad x = -5
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación [tex]\( 2x^2 - 50 = 0 \)[/tex] son [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex].
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b. 6x² - 12x - 18 = 0
1. Empezamos con la ecuación:
[tex]\[
6x^2 - 12x - 18 = 0
\][/tex]
2. Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], que es:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
En este caso, [tex]\( a = 6 \)[/tex], [tex]\( b = -12 \)[/tex], y [tex]\( c = -18 \)[/tex].
3. Sustituimos los valores en la fórmula general:
[tex]\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-18)}}{2 \cdot 6}
\][/tex]
4. Simplificamos dentro de la raíz cuadrada:
[tex]\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 432}}{12}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{576}}{12}
\][/tex]
5. Calculamos la raíz cuadrada de 576:
[tex]\[
\sqrt{576} = 24
\][/tex]
6. Sustituimos la raíz cuadrada de nuevo en la fórmula:
[tex]\[
x = \frac{12 \pm 24}{12}
\][/tex]
7. Resolvemos para los dos posibles valores de [tex]\( x \)[/tex]:
- Cuando usamos el signo [tex]\( + \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{12 + 24}{12} = \frac{36}{12} = 3
\][/tex]
- Cuando usamos el signo [tex]\( - \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{12 - 24}{12} = \frac{-12}{12} = -1
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones para la ecuación [tex]\( 6x^2 - 12x - 18 = 0 \)[/tex] son [tex]\( x = 3 \)[/tex] y [tex]\( x = -1 \)[/tex].
En conclusión, las soluciones para las ecuaciones cuadráticas son:
a. [tex]\( x = 5 \)[/tex] y [tex]\( x = -5 \)[/tex]
b. [tex]\( x = 3 \)[/tex] y [tex]\( x = -1 \)[/tex]
