Para resolver essa questão, vamos considerar que temos três números [tex]\( x \)[/tex], [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex], cuja soma é 391. Além disso, sabemos que a razão entre esses números é dada por:
[tex]\( \frac{x}{8} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \)[/tex].
Vamos seguir um passo a passo detalhado para encontrar os valores de [tex]\( x \)[/tex], [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex].
1. Estabelecer as proporções:
- [tex]\( y \)[/tex] em termos de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{y}{4} = \frac{x}{8} \implies y = \frac{4}{8} \times x \implies y = \frac{1}{2} x
\][/tex]
- [tex]\( z \)[/tex] em termos de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{z}{5} = \frac{x}{8} \implies z = \frac{5}{8} \times x
\][/tex]
2. Soma Total:
Sabemos que a soma dos três números é 391:
[tex]\[
x + y + z = 391
\][/tex]
3. Substituir [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex] em termos de [tex]\( x \)[/tex] na equação da soma:
[tex]\[
x + \frac{1}{2} x + \frac{5}{8} x = 391
\][/tex]
4. Combinar as frações:
[tex]\[
x + 0.5x + 0.625x = 391
\][/tex]
5. Somar os coeficientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
1x + 0.5x + 0.625x = 2.125x = 391
\][/tex]
6. Resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{391}{2.125}
\][/tex]
Calculando, encontramos que:
[tex]\[
x = 184
\][/tex]
7. Calcular [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( z \)[/tex] utilizando [tex]\( x \)[/tex]:
- [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} \times 184 = 92
\][/tex]
- [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[
z = \frac{5}{8} x = \frac{5}{8} \times 184 = 115
\][/tex]
Portanto, os três números são:
- [tex]\( x = 184 \)[/tex]
- [tex]\( y = 92 \)[/tex]
- [tex]\( z = 115 \)[/tex]
Assim, os três números cuja soma é 391, e que mantêm a razão dada, são 184, 92 e 115.
