Para resolver este problema, primero debemos entender los conceptos de probabilidad condicional y la probabilidad conjunta.
1. Probabilidad Conjunta:
La probabilidad de que ambos estudiantes, A y B, suspendan el examen simultáneamente es conocida como probabilidad conjunta y viene dada como [tex]\( P(A \cap B) = \frac{1}{10} \)[/tex].
2. Probabilidad Individual:
Las probabilidades individuales de que cada uno de los estudiantes suspenda el examen son:
- [tex]\( P(A) = \frac{1}{2} \)[/tex] para el estudiante A,
- [tex]\( P(B) = \frac{1}{5} \)[/tex] para el estudiante B.
3. Probabilidad Condicional:
Debemos hallar dos probabilidades condicionales:
- [tex]\( P(A|B) \)[/tex]: La probabilidad de que A suspenda dado que B ha suspendido.
- [tex]\( P(B|A) \)[/tex]: La probabilidad de que B suspenda dado que A ha suspendido.
4. Fórmula de Probabilidad Condicional:
La fórmula para calcular la probabilidad condicional [tex]\( P(X|Y) \)[/tex] es:
[tex]\[
P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}
\][/tex]
donde [tex]\( P(X \cap Y) \)[/tex] es la probabilidad conjunta de que sucedan ambos eventos.
Usemos esta fórmula para encontrar las probabilidades condicionales:
- Probabilidad de que A suspenda dado que B ha suspendido ([tex]\( P(A|B) \)[/tex]):
[tex]\[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{5}} = \frac{1/10}{1/5} = \frac{1}{2}
\][/tex]
- Probabilidad de que B suspenda dado que A ha suspendido ([tex]\( P(B|A) \)[/tex]):
[tex]\[
P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{1/10}{1/2} = \frac{1}{5} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\][/tex]
Por lo tanto, las probabilidades condicionales son:
- [tex]\( P(A|B) = 0.5 \)[/tex]
- [tex]\( P(B|A) = 0.2 \)[/tex]
En resumen, la probabilidad de que el estudiante A suspenda dado que el estudiante B ha suspendido es 0.5, y la probabilidad de que el estudiante B suspenda dado que el estudiante A ha suspendido es 0.2.
