Vamos a resolver las raíces solicitadas en cada caso, paso a paso.
### a) [tex]\(\sqrt[3]{\frac{8}{125}}\)[/tex]
Para resolver esta raíz cúbica, primero observamos la fracción [tex]\(\frac{8}{125}\)[/tex]:
1. El numerador es 8, que es [tex]\(2^3\)[/tex].
2. El denominador es 125, que es [tex]\(5^3\)[/tex].
Luego, podemos reescribir la fracción dentro de la raíz como:
[tex]\[
\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \sqrt[3]{\frac{2^3}{5^3}}
\][/tex]
Utilizando la propiedad de las raíces, podemos simplificar:
[tex]\[
\sqrt[3]{\frac{2^3}{5^3}} = \frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{2}{5} = 0.4
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = 0.4
\][/tex]
### b) [tex]\(\sqrt{0.0625}\)[/tex]
Para calcular la raíz cuadrada de [tex]\(0.0625\)[/tex]:
1. Sabemos que [tex]\(0.0625\)[/tex] es igual a [tex]\((0.25)^2\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[
\sqrt{0.0625} = \sqrt{(0.25)^2} = 0.25
\][/tex]
### c) [tex]\(\sqrt[5]{-\frac{32}{243}}\)[/tex]
Para resolver esta raíz quinta, primero observamos la fracción [tex]\(-\frac{32}{243}\)[/tex]:
1. El numerador es -32, que es [tex]\(-2^5\)[/tex].
2. El denominador es 243, que es [tex]\(3^5\)[/tex].
Luego, podemos reescribir la fracción dentro de la raíz como:
[tex]\[
\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} = \sqrt[5]{-\frac{2^5}{3^5}}
\][/tex]
Utilizando la propiedad de las raíces, podemos simplificar:
[tex]\[
\sqrt[5]{-\frac{2^5}{3^5}} = \frac{\sqrt[5]{-2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{-2}{3}
\][/tex]
Sin embargo, la raíz quinta de un número negativo puede dar un número complejo. El resultado correcto es un número complejo, representado como:
[tex]\[
\sqrt[5]{-\frac{32}{243}} \approx 0.5393 + 0.3919i
\][/tex]
### d) [tex]\(\sqrt{0.0009}\)[/tex]
Para calcular la raíz cuadrada de [tex]\(0.0009\)[/tex]:
1. Sabemos que [tex]\(0.0009\)[/tex] es igual a [tex]\((0.03)^2\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[
\sqrt{0.0009} = \sqrt{(0.03)^2} = 0.03
\][/tex]
Resumiendo los resultados:
- [tex]\(a) \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = 0.4\)[/tex]
- [tex]\(b) \sqrt{0.0625} = 0.25\)[/tex]
- [tex]\(c) \sqrt[5]{-\frac{32}{243}} \approx 0.5393 + 0.3919i\)[/tex]
- [tex]\(d) \sqrt{0.0009} = 0.03\)[/tex]
Estos son los resultados correctos de cada caso.
