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Encuentra las coordenadas de un punto [tex]$P(x, y)$[/tex] sobre la recta determinada por [tex]$P_1\left(X_1, Y_1\right)$[/tex] y [tex]$P_2\left(X_2, Y_2\right)$[/tex], tal que:

[tex]\[ r = \frac{P_1 P}{P P_2} \][/tex]

Si: [tex]\( P_1(5, -8) \)[/tex]; [tex]\( P_2(11, 4) \)[/tex] y [tex]\( r = \frac{1}{2} \)[/tex]


Sagot :

Para encontrar las coordenadas del punto [tex]\(P(x, y)\)[/tex] que divide el segmento determinado por los puntos [tex]\(P_1(x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\(P_2(x_2, y_2)\)[/tex] según una razón [tex]\(r\)[/tex], se utiliza la fórmula para las coordenadas del punto de división. Dado que [tex]\(P_1\)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\((x_1, y_1) = (5, -8)\)[/tex] y [tex]\(P_2\)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\((x_2, y_2) = (11, 4)\)[/tex], y sabemos que [tex]\(r = \frac{1}{2}\)[/tex], podemos proceder de la siguiente manera:

1. Fórmula para las coordenadas del punto que divide un segmento:
[tex]\[ \begin{align*} P_x &= \frac{x_1 + r \cdot x_2}{1 + r}, \\ P_y &= \frac{y_1 + r \cdot y_2}{1 + r}. \end{align*} \][/tex]

2. Sustitución de los valores conocidos:
[tex]\[ \begin{align*} P_x &= \frac{5 + \left(\frac{1}{2} \cdot 11\right)}{1 + \frac{1}{2}}, \\ P_y &= \frac{-8 + \left(\frac{1}{2} \cdot 4\right)}{1 + \frac{1}{2}}. \end{align*} \][/tex]

3. Calculo del denominador:
[tex]\[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \][/tex]

4. Calculo del numerador para [tex]\(P_x\)[/tex]:
[tex]\[ 5 + \left(\frac{1}{2} \cdot 11\right) = 5 + \frac{11}{2} = 5 + 5.5 = 10.5. \][/tex]

5. Calculo del valor de [tex]\(P_x\)[/tex]:
[tex]\[ P_x = \frac{10.5}{\frac{3}{2}} = 10.5 \cdot \frac{2}{3} = 7. \][/tex]

6. Calculo del numerador para [tex]\(P_y\)[/tex]:
[tex]\[ -8 + \left(\frac{1}{2} \cdot 4\right) = -8 + 2 = -6. \][/tex]

7. Calculo del valor de [tex]\(P_y\)[/tex]:
[tex]\[ P_y = \frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4. \][/tex]

8. Conclusión:
Las coordenadas del punto [tex]\(P\)[/tex] que divide el segmento entre [tex]\(P_1(5, -8)\)[/tex] y [tex]\(P_2(11, 4)\)[/tex] según la razón [tex]\(r = \frac{1}{2}\)[/tex] son:
[tex]\[ (P_x, P_y) = (7, -4). \][/tex]