¡Hola estudiante! Vamos a resolver las expresiones dadas utilizando las propiedades de las potencias.
### Parte a:
Queremos expresar el producto [tex]\(\left(4^{12}\right)\left(4^7\right)\)[/tex] como una sola potencia.
Para esto, utilizamos la propiedad de las potencias que nos dice que cuando multiplicamos potencias con la misma base, sumamos los exponentes. La propiedad es:
[tex]\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \][/tex]
En nuestro caso, la base común es [tex]\(4\)[/tex], y los exponentes son [tex]\(12\)[/tex] y [tex]\(7\)[/tex]. Así que sumamos los exponentes:
[tex]\[ \left(4^{12}\right)\left(4^7\right) = 4^{12+7} \][/tex]
Ahora sumamos los exponentes:
[tex]\[ 4^{12+7} = 4^{19} \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \left(4^{12}\right)\left(4^7\right) = 4^{19} \][/tex]
Finalmente, el valor de [tex]\(4^{19}\)[/tex] es:
[tex]\[ 4^{19} = 274877906944 \][/tex]
### Parte b:
Ahora queremos expresar el producto [tex]\(\left(2^3\right)\left(2^5\right)\left(2^{14}\right)\left{2^6\right)\)[/tex] como una sola potencia.
Nuevamente, utilizamos la misma propiedad de las potencias:
[tex]\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \][/tex]
En este caso, la base común es [tex]\(2\)[/tex], y los exponentes son [tex]\(3\)[/tex], [tex]\(5\)[/tex], [tex]\(14\)[/tex] y [tex]\(6\)[/tex]. Sumamos los exponentes:
[tex]\[ \left(2^3\right)\left(2^5\right)\left(2^{14}\right)\left{2^6\right) = 2^{3+5+14+6} \][/tex]
Ahora sumamos los exponentes:
[tex]\[ 2^{3+5+14+6} = 2^{28} \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ \left(2^3\right)\left(2^5\right)\left(2^{14}\right)\left{2^6\right) = 2^{28} \][/tex]
Finalmente, el valor de [tex]\(2^{28}\)[/tex] es:
[tex]\[ 2^{28} = 268435456 \][/tex]
Para resumir, las respuestas son:
a) [tex]\(\left(4^{12}\right)\left(4^7\right) = 4^{19} = 274877906944\)[/tex]
b) [tex]\(\left(2^3\right)\left(2^5\right)\left(2^{14}\right)\left(2^6\right) = 2^{28} = 268435456\)[/tex]
¡Espero que esta explicación te haya sido útil!
