Чтобы найти область определения функции [tex]\( y = \sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}} + \frac{2}{x^2-49} \)[/tex], необходимо учитывать несколько условий:
1. Значения выражения под корнем должны быть неотрицательными, так как в данном случае это арифметический корень четной степени.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю, так как деление на ноль в математике не определено.
Шаг 1: Найти значения [tex]\( x \)[/tex], при которых знаменатель в первой части функции не равен нулю:
[tex]\[ x^2 - 12x + 11 \neq 0 \][/tex]
Решим уравнение:
[tex]\[
x^2 - 12x + 11 = 0
\][/tex]
Решая это квадратное уравнение, находим:
[tex]\[
x = 1 \quad \text{и} \quad x = 11
\][/tex]
Таким образом, значениями, при которых знаменатель равен 0, являются [tex]\( x = 1 \)[/tex] и [tex]\( x = 11 \)[/tex]. Эти значения нужно исключить из области определения.
Шаг 2: Найти значения [tex]\( x \)[/tex], при которых знаменатель во второй части функции не равен нулю:
[tex]\[ x^2 - 49 \neq 0 \][/tex]
Решим уравнение:
[tex]\[
x^2 - 49 = 0
\][/tex]
Решая это квадратное уравнение, находим:
[tex]\[
x = 7 \quad \text{и} \quad x = -7
\][/tex]
Значит, [tex]\( x = 7 \)[/tex] и [tex]\( x = -7 \)[/tex] также исключаются из области определения.
Шаг 3: Найти значения [tex]\( x \)[/tex], при которых выражение под корнем неотрицательно:
[tex]\[
x^2 - 6x - 16 \geq 0
\][/tex]
Решим уравнение:
[tex]\[
x^2 - 6x - 16 = 0
\][/tex]
Решая это квадратное уравнение, находим:
[tex]\[
x = -2 \quad \text{и} \quad x = 8
\][/tex]
Корни уравнения разбивают ось [tex]\( x \)[/tex] на интервалы: [tex]\((-\infty, -2]\)[/tex], [tex]\([-2, 8]\)[/tex] и [tex]\([8, \infty)\)[/tex]. Понимаем, что на интервалах [tex]\((-\infty, -2]\)[/tex] и [tex]\([8, \infty)\)[/tex] выражение под корнем будет неотрицательным, а на интервале [tex]\([-2, 8]\)[/tex] – отрицательным.
Шаг 4: Объединить найденные условия.
Область определения функции состоит из значений [tex]\( x \)[/tex], исключая точки [tex]\( x = 1 \)[/tex], [tex]\( x = 11 \)[/tex], [tex]\( x = 7 \)[/tex] и [tex]\( x = -7 \)[/tex], а также интервал [tex]\([-2, 8]\)[/tex].
Итак, область определения функции:
[tex]\( (-\infty, -7) \cup (-7, -2] \cup [8, 7) \cup (7, 11) \cup (11, \infty) \)[/tex]
