Para encontrar la solución del sistema de ecuaciones
[tex]\[x + y = 7\][/tex]
[tex]\[3x - y = -9\][/tex]
seguiremos estos pasos:
1. Reescribir las ecuaciones:
[tex]\[
x + y = 7 \quad \text{(1)}
\][/tex]
[tex]\[
3x - y = -9 \quad \text{(2)}
\][/tex]
2. Sumar las dos ecuaciones:
Para eliminar una de las variables, podemos sumar ambas ecuaciones. Aquí, sumaremos las ecuaciones (1) y (2) directamente:
[tex]\[
(x + y) + (3x - y) = 7 + (-9)
\][/tex]
[tex]\[
x + y + 3x - y = 7 - 9
\][/tex]
[tex]\[
4x = -2
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\][/tex]
3. Sustituir el valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones originales:
Usando la ecuación (1):
[tex]\[
x + y = 7
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\(x = -\frac{1}{2}\)[/tex]:
[tex]\[
-\frac{1}{2} + y = 7
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = 7 + \frac{1}{2} = 7.5 = \frac{15}{2}
\][/tex]
4. Encontrar la solución del sistema:
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
x = -\frac{1}{2}, \quad y = \frac{15}{2}
\][/tex]
Esta solución es un par [tex]\((x, y)\)[/tex] que satisface ambas ecuaciones originales. Si graficamos ambas ecuaciones en el plano cartesiano, el punto de intersección de las rectas representará esta solución.
Para verificar, substituiremos [tex]\(x = -\frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(y = \frac{15}{2}\)[/tex] en ambas ecuaciones originales:
1. Para la ecuación [tex]\(x + y = 7\)[/tex]:
[tex]\[
-\frac{1}{2} + \frac{15}{2} = 7
\][/tex]
[tex]\[
\frac{14}{2} = 7 \quad \text{(Verdadero)}
\][/tex]
2. Para la ecuación [tex]\(3x - y = -9\)[/tex]:
[tex]\[
3 \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{15}{2} = -9
\][/tex]
[tex]\[
-\frac{3}{2} - \frac{15}{2} = -9
\][/tex]
[tex]\[
-\frac{18}{2} = -9
\][/tex]
[tex]\[
-9 = -9 \quad \text{(Verdadero)}
\][/tex]
Ambas ecuaciones son satisfechas por [tex]\((x, y) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{15}{2}\right)\)[/tex], por lo que esta es la solución correcta del sistema de ecuaciones.
