Para determinar cuál de las gráficas corresponde a la solución del sistema de ecuaciones, necesitamos resolver el sistema que se nos da:
[tex]\[
\begin{cases}
x + y = 7 \\
3x - y = -9
\end{cases}
\][/tex]
El sistema consta de dos ecuaciones lineales. Aquí resolveremos este sistema paso a paso.
1. Sumamos ambas ecuaciones para eliminar una variable:
[tex]\[
(x + y) + (3x - y) = 7 + (-9)
\][/tex]
Esto simplifica a:
[tex]\[
x + y + 3x - y = 7 - 9
\][/tex]
[tex]\[
4x = -2
\][/tex]
Despejamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
\][/tex]
2. Sustituimos el valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\(y\)[/tex].
Tomemos la primera ecuación [tex]\(x + y = 7\)[/tex]:
[tex]\[
-\frac{1}{2} + y = 7
\][/tex]
Sumamos [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
y = 7 + \frac{1}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{14}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}
\][/tex]
Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[
\left( x, y \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{15}{2} \right)
\][/tex]
3. Interpretamos la solución:
Para saber cuál gráfica corresponde a esta solución, buscamos un punto de intersección en el que [tex]\(x = -\frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(y = \frac{15}{2} = 7.5\)[/tex]. La gráfica correcta será la que muestre la intersección de las dos líneas en este punto.
Por lo tanto, revisa las opciones de gráficas proporcionadas y busca el par ordenado [tex]\(\left( -\frac{1}{2}, 7.5 \right)\)[/tex] como el punto de intersección de las dos rectas. La gráfica que cumpla con esta condición es la correcta.
