¡Claro! Vamos a simplificar la expresión [tex]\( E \)[/tex] paso a paso. La expresión original es:
[tex]\[ E = \frac{(x+y)(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)} + \frac{1}{x+y} - \frac{2}{y^2 - x^2} + \frac{(x-y)(y-1)}{(x+y)(x^2 + y^2)} \][/tex]
Primero, desglosamos la expresión en términos más manejables:
1. [tex]\( \frac{(x+y)(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)} \)[/tex]
2. [tex]\( \frac{1}{x+y} \)[/tex]
3. [tex]\( -\frac{2}{y^2 - x^2} \)[/tex]
4. [tex]\( \frac{(x-y)(y-1)}{(x+y)(x^2 + y^2)} \)[/tex]
Observamos que el término 3 puede ser reescrito utilizando la factorización de [tex]\( y^2 - x^2 = (y-x)(y+x) \)[/tex]:
[tex]\[ -\frac{2}{y^2 - x^2} = -\frac{2}{(y-x)(y+x)} \][/tex]
Ahora sumamos todas las fracciones. Los términos 1 y 4 se parecen mucho, pues tienen una estructura similar:
[tex]\[ \frac{(x+y)(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)} + \frac{(x-y)(y-1)}{(x+y)(x^2 + y^2)} \][/tex]
Sumándolos, tenemos:
[tex]\[ \frac{(x+y)(y-1) + (x-y)(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)(x+y)} \][/tex]
En esta fracción del numerador, factoricemos [tex]\( y-1 \)[/tex]:
[tex]\[ = \frac{(y-1)\left[(x+y) + (x-y)\right]}{(x-y)(x^2 + y^2)(x+y)} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{(y-1)(2x)}{(x-y)(x^2 + y^2)(x+y)} \][/tex]
Lo cual se puede simplificar a:
[tex]\[ = \frac{2x(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)(x+y)} \][/tex]
Hasta aquí, se ve que hay un patrón pero no agrega tanta simplicidad por sí misma. Ahora, combinemos con los otros términos:
Sumamos con [tex]\( \frac{1}{x+y} - \frac{2}{(y-x)(y+x)} \)[/tex]:
Entonces, tenemos:
[tex]\[ \frac{2x(y-1)}{(x-y)(x^2 + y^2)(x+y)} + \frac{1}{x+y} - \frac{2}{(y-x)(y+x)} \][/tex]
Combinamos las fracciones con un común denominador. Finalmente, como resultado de la simplificación total resulta:
[tex]\[ E = \frac{1}{x-y} \][/tex]
Esto nos da la expresión simplificada deseada.
