¡Claro! Resolveremos este problema paso a paso.
1. Identificar los datos:
- Altura del edificio ([tex]\(h\)[/tex]): 45 metros
- Velocidad inicial ([tex]\(v_0\)[/tex]): 50 metros por segundo
- Ángulo de elevación ([tex]\(\theta\)[/tex]): 53°
- Aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]): 10 metros por segundo cuadrado
2. Descomposición de la velocidad inicial:
- La velocidad inicial puede descomponerse en dos componentes: horizontal ([tex]\(v_{0x}\)[/tex]) y vertical ([tex]\(v_{0y}\)[/tex]):
[tex]\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta)
\][/tex]
[tex]\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta)
\][/tex]
- Usando trigonometría con [tex]\(\theta = 53^\circ\)[/tex]:
[tex]\[
\cos(53^\circ) \approx 0.6018
\][/tex]
[tex]\[
\sin(53^\circ) \approx 0.7986
\][/tex]
- Entonces:
[tex]\[
v_{0x} = 50 \times 0.6018 \approx 30.09 \, \text{m/s}
\][/tex]
[tex]\[
v_{0y} = 50 \times 0.7986 \approx 39.93 \, \text{m/s}
\][/tex]
3. Tiempo de subida ([tex]\(t_{\text{up}}\)[/tex]):
- Durante el vuelo ascendente, el tiempo que tarda en alcanzarse la altura máxima es:
[tex]\[
t_{\text{up}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{39.93}{10} \approx 3.993 \, \text{s}
\][/tex]
4. Altura máxima ([tex]\(h_{\text{max}}\)[/tex]):
- La máxima altura alcanzada por el proyectil por encima del edificio es:
[tex]\[
h_{\text{max}} = v_{0y} \times t_{\text{up}} - \frac{1}{2} g t_{\text{up}}^2
\][/tex]
[tex]\[
h_{\text{max}} = 39.93 \times 3.993 - \frac{1}{2} \times 10 \times (3.993)^2 \approx 79.727 \, \text{m}
\][/tex]
- Altura total sobre el suelo ([tex]\(h_{\text{total}}\)[/tex]):
[tex]\[
h_{\text{total}} = h + h_{\text{max}} = 45 + 79.727 \approx 124.727 \, \text{m}
\][/tex]
5. Tiempo de descenso ([tex]\(t_{\text{down}}\)[/tex]):
- Utilizando la ecuación del movimiento para el tiempo de caída libre:
[tex]\[
h_{\text{total}} = \frac{1}{2} g t_{\text{down}}^2
\][/tex]
[tex]\[
t_{\text{down}} = \sqrt{\frac{2h_{\text{total}}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 124.727}{10}} \approx 4.995 \, \text{s}
\][/tex]
6. Tiempo total de vuelo ([tex]\(t_{\text{total}}\)[/tex]):
- La suma del tiempo de subida y descenso:
[tex]\[
t_{\text{total}} = t_{\text{up}} + t_{\text{down}} = 3.993 + 4.995 \approx 8.988 \, \text{s}
\][/tex]
7. Desplazamiento horizontal:
- Finalmente, el desplazamiento horizontal es dado por:
[tex]\[
d = v_{0x} \times t_{\text{total}} = 30.09 \times 8.988 \approx 270.447 \, \text{m}
\][/tex]
Seleccionando el valor más cercano de las opciones proporcionadas, la respuesta correcta es:
e) 270 m
