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Sagot :
Para encontrar la parábola que tiene su eje de simetría paralelo al eje [tex]\( y \)[/tex] y que pasa por los puntos [tex]\((4, -2), (0, 0)\)[/tex] y [tex]\((3, -3)\)[/tex], debemos determinar su ecuación. Sabemos que la ecuación de una parábola con forma estándar es [tex]\( y = ax^2 + bx + c \)[/tex].
Paso 1: Plantear el sistema de ecuaciones
Vamos a introducir los puntos en la ecuación general de la parábola. Esto nos da tres ecuaciones:
1. Para el punto [tex]\((4, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ -2 = a(4^2) + b(4) + c \Rightarrow -2 = 16a + 4b + c \][/tex]
2. Para el punto [tex]\((0, 0)\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = a(0^2) + b(0) + c \Rightarrow 0 = c \][/tex]
3. Para el punto [tex]\((3, -3)\)[/tex]:
[tex]\[ -3 = a(3^2) + b(3) + c \Rightarrow -3 = 9a + 3b + c \][/tex]
Paso 2: Resolver las ecuaciones
Dado que la segunda ecuación nos dice que [tex]\( c = 0 \)[/tex], podemos simplificar el sistema de ecuaciones reemplazando [tex]\( c \)[/tex]:
1. Para el punto [tex]\((4, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ -2 = 16a + 4b \][/tex]
2. Para el punto [tex]\((3, -3)\)[/tex]:
[tex]\[ -3 = 9a + 3b \][/tex]
Ahora, resolvamos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
[tex]\[ \begin{cases} 16a + 4b = -2 \\ 9a + 3b = -3 \end{cases} \][/tex]
Multipliquemos la segunda ecuación por [tex]\(\frac{4}{3}\)[/tex] para equiparar los coeficientes de [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 16a + 4b = -2 \][/tex]
[tex]\[ 12a + 4b = -4 \][/tex]
Restemos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (16a + 4b) - (12a + 4b) = -2 - (-4) \][/tex]
[tex]\[ 4a = 2 \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{1}{2} \][/tex]
Con [tex]\( a = \frac{1}{2} \)[/tex], reemplazamos en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 9 \left(\frac{1}{2}\right) + 3b = -3 \][/tex]
[tex]\[ \frac{9}{2} + 3b = -3 \][/tex]
[tex]\[ 3b = -3 - \frac{9}{2} \][/tex]
[tex]\[ 3b = -\frac{15}{2} \][/tex]
[tex]\[ b = -\frac{15}{6} \][/tex]
[tex]\[ b = -\frac{5}{2} \][/tex]
Entonces, la ecuación de la parábola es:
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x \][/tex]
Paso 3: Representar la parábola gráficamente
Graficamos la parábola usando valores generados en el intervalo adecuado:
- Intervalo [tex]\( x \)[/tex]: de [tex]\( -1 \)[/tex] a [tex]\( 5 \)[/tex].
- Valores generados de [tex]\( y \)[/tex] desde la ecuación encontrada [tex]\( y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x \)[/tex].
Las coordenadas generadas son:
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \text{x} & \text{y} \\ \hline -1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ 3 & -3 \\ 4 & -2 \\ 5 & 0 \\ \end{array} \][/tex]
Finalmente, dibujamos la parábola aprovechando las coordenadas de los puntos calculados y observamos que efectivamente pasa por los puntos [tex]\((4,-2), (0,0)\)[/tex] y [tex]\((3,-3)\)[/tex].
Paso 1: Plantear el sistema de ecuaciones
Vamos a introducir los puntos en la ecuación general de la parábola. Esto nos da tres ecuaciones:
1. Para el punto [tex]\((4, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ -2 = a(4^2) + b(4) + c \Rightarrow -2 = 16a + 4b + c \][/tex]
2. Para el punto [tex]\((0, 0)\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = a(0^2) + b(0) + c \Rightarrow 0 = c \][/tex]
3. Para el punto [tex]\((3, -3)\)[/tex]:
[tex]\[ -3 = a(3^2) + b(3) + c \Rightarrow -3 = 9a + 3b + c \][/tex]
Paso 2: Resolver las ecuaciones
Dado que la segunda ecuación nos dice que [tex]\( c = 0 \)[/tex], podemos simplificar el sistema de ecuaciones reemplazando [tex]\( c \)[/tex]:
1. Para el punto [tex]\((4, -2)\)[/tex]:
[tex]\[ -2 = 16a + 4b \][/tex]
2. Para el punto [tex]\((3, -3)\)[/tex]:
[tex]\[ -3 = 9a + 3b \][/tex]
Ahora, resolvamos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
[tex]\[ \begin{cases} 16a + 4b = -2 \\ 9a + 3b = -3 \end{cases} \][/tex]
Multipliquemos la segunda ecuación por [tex]\(\frac{4}{3}\)[/tex] para equiparar los coeficientes de [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 16a + 4b = -2 \][/tex]
[tex]\[ 12a + 4b = -4 \][/tex]
Restemos la segunda ecuación de la primera:
[tex]\[ (16a + 4b) - (12a + 4b) = -2 - (-4) \][/tex]
[tex]\[ 4a = 2 \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{1}{2} \][/tex]
Con [tex]\( a = \frac{1}{2} \)[/tex], reemplazamos en una de las ecuaciones originales para encontrar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ 9 \left(\frac{1}{2}\right) + 3b = -3 \][/tex]
[tex]\[ \frac{9}{2} + 3b = -3 \][/tex]
[tex]\[ 3b = -3 - \frac{9}{2} \][/tex]
[tex]\[ 3b = -\frac{15}{2} \][/tex]
[tex]\[ b = -\frac{15}{6} \][/tex]
[tex]\[ b = -\frac{5}{2} \][/tex]
Entonces, la ecuación de la parábola es:
[tex]\[ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x \][/tex]
Paso 3: Representar la parábola gráficamente
Graficamos la parábola usando valores generados en el intervalo adecuado:
- Intervalo [tex]\( x \)[/tex]: de [tex]\( -1 \)[/tex] a [tex]\( 5 \)[/tex].
- Valores generados de [tex]\( y \)[/tex] desde la ecuación encontrada [tex]\( y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x \)[/tex].
Las coordenadas generadas son:
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \text{x} & \text{y} \\ \hline -1 & 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ 3 & -3 \\ 4 & -2 \\ 5 & 0 \\ \end{array} \][/tex]
Finalmente, dibujamos la parábola aprovechando las coordenadas de los puntos calculados y observamos que efectivamente pasa por los puntos [tex]\((4,-2), (0,0)\)[/tex] y [tex]\((3,-3)\)[/tex].
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