Para hallar la altura de un cilindro cuyo diámetro es [tex]\(a\)[/tex] cm y su volumen es [tex]\(231000 \, \text{cm}^3\)[/tex], vamos a resolver el problema paso a paso:
### Paso 1: Conocer la fórmula del volumen del cilindro
El volumen [tex]\(V\)[/tex] de un cilindro puede ser calculado con la fórmula:
[tex]\[ V = \pi r^2 h \][/tex]
donde:
- [tex]\(V\)[/tex] es el volumen del cilindro.
- [tex]\(r\)[/tex] es el radio de la base del cilindro.
- [tex]\(h\)[/tex] es la altura del cilindro.
- [tex]\(\pi\)[/tex] es una constante, aproximadamente [tex]\(3.14159\)[/tex].
### Paso 2: Relacionar el diámetro con el radio
El diámetro del cilindro es [tex]\(a\)[/tex] cm, y sabemos que el radio [tex]\(r\)[/tex] es la mitad del diámetro. Entonces:
[tex]\[ r = \frac{a}{2} \][/tex]
### Paso 3: Sustituir el volumen y el radio en la fórmula
Sabemos que [tex]\(V = 231000 \, \text{cm}^3\)[/tex] y que [tex]\(r = \frac{a}{2}\)[/tex]. Sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen obtenemos:
[tex]\[ 231000 = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 h \][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación para [tex]\(h\)[/tex]
Primero simplificamos la expresión [tex]\(\left( \frac{a}{2} \right)^2\)[/tex]:
[tex]\[ \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{4} \][/tex]
Entonces, la ecuación se convierte en:
[tex]\[ 231000 = \pi \left( \frac{a^2}{4} \right) h \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 4 para despejar [tex]\(h\)[/tex]:
[tex]\[ 231000 \cdot 4 = \pi a^2 h \][/tex]
[tex]\[ 924000 = \pi a^2 h \][/tex]
Ahora, despejamos [tex]\(h\)[/tex] dividiendo ambos lados por [tex]\(\pi a^2\)[/tex]:
[tex]\[ h = \frac{924000}{\pi a^2} \][/tex]
### Paso 5: Concluir con la expresión de la altura
La fórmula final para la altura [tex]\(h\)[/tex] del cilindro es:
[tex]\[ h = \frac{924000}{\pi a^2} \][/tex]
Esta fórmula nos permite calcular la altura del cilindro dado el diámetro [tex]\(a\)[/tex] y el volumen [tex]\(231000 \, \text{cm}^3\)[/tex].
