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Sagot :
¡Claro! Para resolver el problema detalladamente, vamos a seguir estos pasos:
1. Encontrar el valor promedio [tex]\(\bar{x}\)[/tex].
2. Calcular las desviaciones ([tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex]) y [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex].
3. Calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones.
4. Calcular la desviación estándar [tex]\(\sigma\)[/tex].
### Paso 1: Calcular el valor promedio [tex]\(\bar{x}\)[/tex]
Tenemos los datos [tex]\(x_i\)[/tex] que son:
[tex]\[1, 3, 18, 45, 63, 53, 47, 42, 39, 37, 32, 28, 23, 14, 4, 4, 5\][/tex]
Primero, sumamos todos estos valores:
[tex]\[1 + 3 + 18 + 45 + 63 + 53 + 47 + 42 + 39 + 37 + 32 + 28 + 23 + 14 + 4 + 4 + 5 = 458\][/tex]
Luego, dividimos esta suma por el número total de valores [tex]\(n = 17\)[/tex]:
[tex]\[\bar{x} = \frac{458}{17} \approx 26.941\][/tex]
### Paso 2: Calcular las desviaciones [tex]\((x_i - \bar{x})\)[/tex] y [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex]
A continuación, calculamos la desviación de cada valor respecto a la media [tex]\(\bar{x}\)[/tex] y también su cuadrado.
| [tex]\(x_i\)[/tex] | [tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex] | [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex] |
|--------|-------------------|--------------------------------|
| 1 | -25.941 | 672.944 |
| 3 | -23.941 | 573.179 |
| 18 | -8.941 | 79.945 |
| 45 | 18.059 | 326.121 |
| 63 | 36.059 | 1300.239 |
| 53 | 26.059 | 679.062 |
| 47 | 20.059 | 402.356 |
| 42 | 15.059 | 226.768 |
| 39 | 12.059 | 145.415 |
| 37 | 10.059 | 101.180 |
| 32 | 5.059 | 25.592 |
| 28 | 1.059 | 1.121 |
| 23 | -3.941 | 15.533 |
| 14 | -12.941 | 167.474 |
| 4 | -22.941 | 526.298 |
| 4 | -22.941 | 526.298 |
| 5 | -21.941 | 481.415 |
### Paso 3: Calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones
Sumamos todos los valores obtenidos en [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex]:
[tex]\[ 672.944 + 573.179 + 79.945 + 326.121 + 1300.239 + 679.062 + 402.356 + 226.768 + 145.415 + 101.180 + 25.592 + 1.121 + 15.533 + 167.474 + 526.298 + 526.298 + 481.415 = 6250.941\][/tex]
### Paso 4: Calcular la desviación estándar [tex]\( \sigma \)[/tex]
Finalmente, utilizamos la fórmula de la desviación estándar:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2 }{n}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = \sqrt{\frac{6250.941}{17}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = \sqrt{367.702} \][/tex]
[tex]\[ \sigma \approx 19.176 \][/tex]
### Resumen final:
| [tex]\(\bar{x}\)[/tex] (media) | Desviación estándar [tex]\( \sigma \)[/tex] |
|----------------------|-----------------------------------|
| 26.941 | 19.176 |
Los espacios en blanco quedan llenos como:
Para [tex]\(\bar{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \bar{x} = 26.941 \][/tex]
Para [tex]\(\sigma\)[/tex]:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{367.702} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = 19.176 \][/tex]
Espero que esta explicación clara y detalla haya sido de ayuda. Si tienen alguna pregunta adicional, ¡no duden en hacerla!
1. Encontrar el valor promedio [tex]\(\bar{x}\)[/tex].
2. Calcular las desviaciones ([tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex]) y [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex].
3. Calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones.
4. Calcular la desviación estándar [tex]\(\sigma\)[/tex].
### Paso 1: Calcular el valor promedio [tex]\(\bar{x}\)[/tex]
Tenemos los datos [tex]\(x_i\)[/tex] que son:
[tex]\[1, 3, 18, 45, 63, 53, 47, 42, 39, 37, 32, 28, 23, 14, 4, 4, 5\][/tex]
Primero, sumamos todos estos valores:
[tex]\[1 + 3 + 18 + 45 + 63 + 53 + 47 + 42 + 39 + 37 + 32 + 28 + 23 + 14 + 4 + 4 + 5 = 458\][/tex]
Luego, dividimos esta suma por el número total de valores [tex]\(n = 17\)[/tex]:
[tex]\[\bar{x} = \frac{458}{17} \approx 26.941\][/tex]
### Paso 2: Calcular las desviaciones [tex]\((x_i - \bar{x})\)[/tex] y [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex]
A continuación, calculamos la desviación de cada valor respecto a la media [tex]\(\bar{x}\)[/tex] y también su cuadrado.
| [tex]\(x_i\)[/tex] | [tex]\(x_i - \bar{x}\)[/tex] | [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex] |
|--------|-------------------|--------------------------------|
| 1 | -25.941 | 672.944 |
| 3 | -23.941 | 573.179 |
| 18 | -8.941 | 79.945 |
| 45 | 18.059 | 326.121 |
| 63 | 36.059 | 1300.239 |
| 53 | 26.059 | 679.062 |
| 47 | 20.059 | 402.356 |
| 42 | 15.059 | 226.768 |
| 39 | 12.059 | 145.415 |
| 37 | 10.059 | 101.180 |
| 32 | 5.059 | 25.592 |
| 28 | 1.059 | 1.121 |
| 23 | -3.941 | 15.533 |
| 14 | -12.941 | 167.474 |
| 4 | -22.941 | 526.298 |
| 4 | -22.941 | 526.298 |
| 5 | -21.941 | 481.415 |
### Paso 3: Calcular la suma de los cuadrados de las desviaciones
Sumamos todos los valores obtenidos en [tex]\((x_i - \bar{x})^2\)[/tex]:
[tex]\[ 672.944 + 573.179 + 79.945 + 326.121 + 1300.239 + 679.062 + 402.356 + 226.768 + 145.415 + 101.180 + 25.592 + 1.121 + 15.533 + 167.474 + 526.298 + 526.298 + 481.415 = 6250.941\][/tex]
### Paso 4: Calcular la desviación estándar [tex]\( \sigma \)[/tex]
Finalmente, utilizamos la fórmula de la desviación estándar:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2 }{n}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = \sqrt{\frac{6250.941}{17}} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = \sqrt{367.702} \][/tex]
[tex]\[ \sigma \approx 19.176 \][/tex]
### Resumen final:
| [tex]\(\bar{x}\)[/tex] (media) | Desviación estándar [tex]\( \sigma \)[/tex] |
|----------------------|-----------------------------------|
| 26.941 | 19.176 |
Los espacios en blanco quedan llenos como:
Para [tex]\(\bar{x}\)[/tex]:
[tex]\[ \bar{x} = 26.941 \][/tex]
Para [tex]\(\sigma\)[/tex]:
[tex]\[ \sigma = \sqrt{367.702} \][/tex]
[tex]\[ \sigma = 19.176 \][/tex]
Espero que esta explicación clara y detalla haya sido de ayuda. Si tienen alguna pregunta adicional, ¡no duden en hacerla!
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