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Sagot :
Claro, comencemos con los pasos detallados para hallar y graficar la ecuación de la circunferencia con centro en [tex]$C(0, 3)$[/tex] y que es tangente a la recta [tex]$L_1: 5x - 4y - 6 = 0$[/tex].
### Paso 1: Determinar el radio de la circunferencia
Para encontrar el radio de la circunferencia, usaremos la fórmula de la distancia desde un punto a una recta. La distancia [tex]$d$[/tex] desde el punto [tex]$(h, k)$[/tex] a la recta [tex]$Ax + By + C = 0$[/tex] está dada por:
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \][/tex]
donde [tex]$(x_1, y_1)$[/tex] es el punto [tex]$(0, 3)$[/tex], y los coeficientes de la recta son [tex]$A = 5$[/tex], [tex]$B = -4$[/tex], y [tex]$C = -6$[/tex].
Sustituyamos estos valores en la fórmula:
[tex]\[ d = \frac{|5(0) + (-4)(3) - 6|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{|-12 - 6|}{\sqrt{25 + 16}} = \frac{|-18|}{\sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}} = \frac{18\sqrt{41}}{41} \][/tex]
Así, el radio [tex]$r$[/tex] de la circunferencia es [tex]$\frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex].
### Paso 2: Plantear la ecuación de la circunferencia
La ecuación general de la circunferencia con centro [tex]$(h, k)$[/tex] y radio [tex]$r$[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Dado que [tex]$h = 0$[/tex], [tex]$k = 3$[/tex], y [tex]$r = \frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex], tenemos:
[tex]\[ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{18\sqrt{41}}{41}\right)^2 \][/tex]
### Paso 3: Simplificar la ecuación de la circunferencia
Primero, calculemos el radio al cuadrado:
[tex]\[ \left(\frac{18\sqrt{41}}{41}\right)^2 = \frac{(18\sqrt{41})^2}{41^2} = \frac{18^2 \cdot 41}{41^2} = \frac{324 \cdot 41}{1681} = \frac{13284}{1681} \][/tex]
La ecuación de la circunferencia se convierte en:
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \frac{13284}{1681} \][/tex]
### Paso 4: Expandir y escribir en la forma general [tex]\(Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0\)[/tex]
Expandimos [tex]\((y - 3)^2\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + (y^2 - 6y + 9) = \frac{13284}{1681} \][/tex]
Luego, agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y + 9 - \frac{13284}{1681} = 0 \][/tex]
Multiplicamos toda la ecuación por 1681 para despejar los denominadores:
[tex]\[ 1681x^2 + 1681y^2 - 10086y + 15129 - 13284 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 1681x^2 + 1681y^2 - 10086y + 1845 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los coeficientes
La ecuación de la circunferencia en forma general es:
[tex]\[ 41x^2 + 41y^2 - 246y + 45 = 0 \][/tex]
### Paso 6: Graficar la circunferencia
Para graficar la circunferencia:
1. El centro de la circunferencia es [tex]\((0, 3)\)[/tex].
2. El radio es [tex]$\frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex], que es aproximadamente [tex]$\approx 2.82$[/tex].
La gráfica incluye un círculo centrado en [tex]$(0, 3)$[/tex] y un radio proporcional o usando herramientas gráficas.
Entonces, la ecuación de la circunferencia buscada es:
[tex]\[ 41x^2 + 41y^2 - 246y + 45 = 0 \][/tex]
### Paso 1: Determinar el radio de la circunferencia
Para encontrar el radio de la circunferencia, usaremos la fórmula de la distancia desde un punto a una recta. La distancia [tex]$d$[/tex] desde el punto [tex]$(h, k)$[/tex] a la recta [tex]$Ax + By + C = 0$[/tex] está dada por:
[tex]\[ d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \][/tex]
donde [tex]$(x_1, y_1)$[/tex] es el punto [tex]$(0, 3)$[/tex], y los coeficientes de la recta son [tex]$A = 5$[/tex], [tex]$B = -4$[/tex], y [tex]$C = -6$[/tex].
Sustituyamos estos valores en la fórmula:
[tex]\[ d = \frac{|5(0) + (-4)(3) - 6|}{\sqrt{5^2 + (-4)^2}} = \frac{|-12 - 6|}{\sqrt{25 + 16}} = \frac{|-18|}{\sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}} = \frac{18\sqrt{41}}{41} \][/tex]
Así, el radio [tex]$r$[/tex] de la circunferencia es [tex]$\frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex].
### Paso 2: Plantear la ecuación de la circunferencia
La ecuación general de la circunferencia con centro [tex]$(h, k)$[/tex] y radio [tex]$r$[/tex] es:
[tex]\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \][/tex]
Dado que [tex]$h = 0$[/tex], [tex]$k = 3$[/tex], y [tex]$r = \frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex], tenemos:
[tex]\[ (x - 0)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{18\sqrt{41}}{41}\right)^2 \][/tex]
### Paso 3: Simplificar la ecuación de la circunferencia
Primero, calculemos el radio al cuadrado:
[tex]\[ \left(\frac{18\sqrt{41}}{41}\right)^2 = \frac{(18\sqrt{41})^2}{41^2} = \frac{18^2 \cdot 41}{41^2} = \frac{324 \cdot 41}{1681} = \frac{13284}{1681} \][/tex]
La ecuación de la circunferencia se convierte en:
[tex]\[ x^2 + (y - 3)^2 = \frac{13284}{1681} \][/tex]
### Paso 4: Expandir y escribir en la forma general [tex]\(Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0\)[/tex]
Expandimos [tex]\((y - 3)^2\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 + (y^2 - 6y + 9) = \frac{13284}{1681} \][/tex]
Luego, agrupamos todos los términos en un lado de la ecuación:
[tex]\[ x^2 + y^2 - 6y + 9 - \frac{13284}{1681} = 0 \][/tex]
Multiplicamos toda la ecuación por 1681 para despejar los denominadores:
[tex]\[ 1681x^2 + 1681y^2 - 10086y + 15129 - 13284 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 1681x^2 + 1681y^2 - 10086y + 1845 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Interpretar los coeficientes
La ecuación de la circunferencia en forma general es:
[tex]\[ 41x^2 + 41y^2 - 246y + 45 = 0 \][/tex]
### Paso 6: Graficar la circunferencia
Para graficar la circunferencia:
1. El centro de la circunferencia es [tex]\((0, 3)\)[/tex].
2. El radio es [tex]$\frac{18\sqrt{41}}{41}$[/tex], que es aproximadamente [tex]$\approx 2.82$[/tex].
La gráfica incluye un círculo centrado en [tex]$(0, 3)$[/tex] y un radio proporcional o usando herramientas gráficas.
Entonces, la ecuación de la circunferencia buscada es:
[tex]\[ 41x^2 + 41y^2 - 246y + 45 = 0 \][/tex]
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