Para determinar qué conjunto de pares ordenados podría representar una función lineal, debemos verificar si todos los puntos en algún conjunto pueden ser descritos por una ecuación lineal de la forma [tex]\( y = mx + b \)[/tex], donde [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente y [tex]\( b \)[/tex] es la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex]. A continuación, revisemos los conjuntos:
1. Conjunto A: [tex]\(\{(-4,-6),(-1,-5),(1,-4),(4,-3)\}\)[/tex]
- Graficando estos puntos o calculando, resulta que no siguen una relación lineal exacta. Los cambios en [tex]\( y \)[/tex] no son proporcionales a los cambios en [tex]\( x \)[/tex].
2. Conjunto B: [tex]\(\{(-6,7),(-3,4),(1,1),(4,-2)\}\)[/tex]
- Similarmente, los puntos en el conjunto B tampoco parecen seguir una relación lineal exacta. La tasa de cambio de [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex] no es constante.
3. Conjunto C: [tex]\(\{(-4,4),(0,2),(4,0),(6,-1)\}\)[/tex]
- Observemos los puntos:
- Calculando la pendiente entre los puntos [tex]\((-4, 4)\)[/tex] y [tex]\((0, 2)\)[/tex]: [tex]\(\frac{2-4}{0+4} = -\frac{1}{2}\)[/tex]
- Entre [tex]\((0, 2)\)[/tex] y [tex]\((4, 0)\)[/tex]: [tex]\(\frac{0-2}{4-0} = -\frac{1}{2}\)[/tex]
- Entre [tex]\((4, 0)\)[/tex] y [tex]\((6, -1)\)[/tex]: [tex]\(\frac{-1-0}{6-4} = -\frac{1}{2}\)[/tex]
- Dado que la pendiente es constante y los puntos siguen la fórmula [tex]\( y = -\frac{1}{2}x + b \)[/tex] con [tex]\(b\)[/tex] ajustable, podemos confirmar que estos puntos forman una línea.
4. Conjunto D: [tex]\(\{(-1,-2),(2,0),(5,3),(8,6)\}\)[/tex]
- Similarmente, no todos los puntos en este conjunto siguen una relación lineal exacta. La tasa de cambio de [tex]\( y \)[/tex] con respecto a [tex]\( x \)[/tex] no es constante.
Por lo tanto, el conjunto que representa una función lineal es el conjunto [tex]\( C \)[/tex].
