Para resolver la pregunta de calcular [tex]\( p(a+3) \)[/tex] para el polinomio dado [tex]\( p(x) = x^2 - 5x + 3 \)[/tex], sigamos los pasos detalladamente:
1. Definición del polinomio:
Dados:
[tex]\[ p(x) = x^2 - 5x + 3 \][/tex]
2. Sustitución de [tex]\( x \)[/tex] por [tex]\( a + 3 \)[/tex]:
Necesitamos calcular [tex]\( p(a+3) \)[/tex]. Esto implica sustituir [tex]\( x \)[/tex] por [tex]\( a + 3 \)[/tex] en la fórmula del polinomio [tex]\( p(x) \)[/tex]:
[tex]\[ p(a + 3) = (a + 3)^2 - 5(a + 3) + 3 \][/tex]
3. Expansión de cada término:
Primero, expandimos [tex]\( (a + 3)^2 \)[/tex]:
[tex]\[
(a + 3)^2 = a^2 + 2 \cdot 3a + 3^2 = a^2 + 6a + 9
\][/tex]
Luego, expandimos [tex]\( -5(a + 3) \)[/tex]:
[tex]\[
-5(a + 3) = -5a - 15
\][/tex]
4. Reemplazo y simplificación:
Ahora colocamos las expansiones en la expresión inicial y simplificamos:
[tex]\[
p(a + 3) = a^2 + 6a + 9 - 5a - 15 + 3
\][/tex]
Combinamos y reducimos términos semejantes:
[tex]\[
p(a + 3) = a^2 + 6a - 5a + 9 - 15 + 3
\][/tex]
[tex]\[
p(a + 3) = a^2 + (6a - 5a) + (9 - 15 + 3)
\][/tex]
[tex]\[
p(a + 3) = a^2 + a - 3
\][/tex]
5. Reexpresión del resultado:
Si simplificamos usando las operaciones adecuadas, llegamos al resultado:
[tex]\[
p(a + 3) = -5a + (a + 3)^2 - 12
\][/tex]
Así, la expresión simplificada para [tex]\( p(a + 3) \)[/tex] es:
[tex]\[
p(a + 3) = -5a + (a + 3)^2 - 12
\][/tex]
