Vamos a resolver el problema paso a paso para encontrar el dominio de la función [tex]\( g(w) = \frac{w^3 - 9x}{\sqrt{w^3 + 3w^2 + 2w}} \)[/tex].
Para que la función [tex]\( g(w) \)[/tex] esté bien definida, debemos asegurarnos de que la expresión en el denominador no sea cero y tampoco negativa, ya que estamos tomando una raíz cuadrada. Por lo tanto, necesitamos que:
1. La expresión dentro de la raíz [tex]\( w^3 + 3w^2 + 2w \)[/tex] sea mayor que cero (estrictamente positiva).
### Paso 1: Resolver la desigualdad [tex]\( w^3 + 3w^2 + 2w > 0 \)[/tex]
Para resolver [tex]\( w^3 + 3w^2 + 2w > 0 \)[/tex], primero factorizamos la expresión:
[tex]\[ w^3 + 3w^2 + 2w = w(w^2 + 3w + 2) \][/tex]
Luego, podemos factorizar el trinomio cuadrático:
[tex]\[ w(w + 1)(w + 2) \][/tex]
Teniendo los factores [tex]\( w(w + 1)(w + 2) \)[/tex], analizamos los intervalos en la recta real donde el producto sea positivo:
- Para [tex]\( w < -2 \)[/tex], todos los términos son negativos, lo que produce un producto negativo.
- Para [tex]\( -2 < w < -1 \)[/tex], dos términos son negativos ([tex]\( w + 2 \)[/tex] y [tex]\( w + 1 \)[/tex]), y uno es positivo ([tex]\( w \)[/tex]), lo que produce un producto positivo.
- Para [tex]\( -1 < w < 0 \)[/tex], un término es negativo ([tex]\( w \)[/tex]) y dos son positivos ([tex]\( w + 2 \)[/tex] y [tex]\( w + 1 \)[/tex]), lo que produce un producto negativo.
- Para [tex]\( w > 0 \)[/tex], todos los términos son positivos, lo que produce un producto positivo.
Por lo tanto, la solución de la desigualdad [tex]\( w(w + 1)(w + 2) > 0 \)[/tex] es:
[tex]\[ (-2, -1) \cup (0, \infty) \][/tex]
### Paso 2: Determinar los intervalos donde la función está definida
Dado que el denominador debe ser estrictamente positivo para que la función esté definida, concluimos que el dominio de la función [tex]\( g(w) \)[/tex] es la unión de los intervalos donde la expresión dentro de la raíz es positiva.
##### Dominio final:
[tex]\[ D = (-2, -1) \cup (0, \infty) \][/tex]
Por consiguiente, el dominio de la función [tex]\( g(w) = \frac{w^3 - 9x}{\sqrt{w^3 + 3w^2 + 2w}} \)[/tex] es [tex]\( (-2, -1) \cup (0, \infty) \)[/tex].
