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Sagot :
Claro, vamos a resolver cada una de las ecuaciones paso a paso para encontrar el valor de [tex]\( m \)[/tex].
### (4) [tex]\( 7^{3m} = 343 \)[/tex]
1. Reconocemos que [tex]\( 343 \)[/tex] se puede escribir como la potencia de 7:
[tex]\[ 343 = 7^3 \][/tex]
2. Entonces, la ecuación [tex]\( 7^{3m} = 343 \)[/tex] se convierte en:
[tex]\[ 7^{3m} = 7^3 \][/tex]
3. Dado que las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:
[tex]\[ 3m = 3 \][/tex]
4. Resolviendo para [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{3}{3} = 1 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 1 \)[/tex].
### (5) [tex]\( \sqrt[m]{3^7} = 3 \)[/tex]
1. Escribimos la raíz en términos de exponente fraccionario:
[tex]\[ (3^7)^{1/m} = 3 \][/tex]
2. Recordando que [tex]\( (a^b)^c = a^{bc} \)[/tex]:
[tex]\[ 3^{7/m} = 3 \][/tex]
3. Dado que las bases son iguales, igualamos los exponentes:
[tex]\[ \frac{7}{m} = 1 \][/tex]
4. Resolviendo para [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = 7 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 7 \)[/tex].
### (6) [tex]\( \sqrt[3]{6^0} + m = 4 \)[/tex]
1. Recordamos que [tex]\( 6^0 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt[3]{1} + m = 4 \][/tex]
2. La raíz cúbica de 1 es 1:
[tex]\[ 1 + m = 4 \][/tex]
3. Restando 1 de ambos lados para resolver [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = 4 - 1 \][/tex]
[tex]\[ m = 3 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 3 \)[/tex].
### [tex]\( 7(2^2)^m = \sqrt{256} \)[/tex]
1. Simplificamos [tex]\( 2^2 \)[/tex]:
[tex]\[ 7 \cdot 4^m = \sqrt{256} \][/tex]
2. Calculamos la raíz cuadrada de 256:
[tex]\[ \sqrt{256} = 16 \][/tex]
3. Reemplazamos en la ecuación:
[tex]\[ 7 \cdot 4^m = 16 \][/tex]
4. Dividimos ambos lados por 7:
[tex]\[ 4^m = \frac{16}{7} \][/tex]
5. Para resolver [tex]\( m \)[/tex], tomamos el logaritmo en ambas partes:
[tex]\[ m = \frac{\log \left( \frac{16}{7} \right)}{\log (4)} \][/tex]
El resultado aproximado es:
[tex]\[ m \approx 0.5963225389711979 \][/tex]
# Resumen de valores
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (4): [tex]\( 1 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (5): [tex]\( 7 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (6): [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación final: [tex]\( \approx 0.5963225389711979 \)[/tex]
### (4) [tex]\( 7^{3m} = 343 \)[/tex]
1. Reconocemos que [tex]\( 343 \)[/tex] se puede escribir como la potencia de 7:
[tex]\[ 343 = 7^3 \][/tex]
2. Entonces, la ecuación [tex]\( 7^{3m} = 343 \)[/tex] se convierte en:
[tex]\[ 7^{3m} = 7^3 \][/tex]
3. Dado que las bases son iguales, podemos igualar los exponentes:
[tex]\[ 3m = 3 \][/tex]
4. Resolviendo para [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{3}{3} = 1 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 1 \)[/tex].
### (5) [tex]\( \sqrt[m]{3^7} = 3 \)[/tex]
1. Escribimos la raíz en términos de exponente fraccionario:
[tex]\[ (3^7)^{1/m} = 3 \][/tex]
2. Recordando que [tex]\( (a^b)^c = a^{bc} \)[/tex]:
[tex]\[ 3^{7/m} = 3 \][/tex]
3. Dado que las bases son iguales, igualamos los exponentes:
[tex]\[ \frac{7}{m} = 1 \][/tex]
4. Resolviendo para [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = 7 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 7 \)[/tex].
### (6) [tex]\( \sqrt[3]{6^0} + m = 4 \)[/tex]
1. Recordamos que [tex]\( 6^0 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \sqrt[3]{1} + m = 4 \][/tex]
2. La raíz cúbica de 1 es 1:
[tex]\[ 1 + m = 4 \][/tex]
3. Restando 1 de ambos lados para resolver [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[ m = 4 - 1 \][/tex]
[tex]\[ m = 3 \][/tex]
Por lo tanto, [tex]\( m = 3 \)[/tex].
### [tex]\( 7(2^2)^m = \sqrt{256} \)[/tex]
1. Simplificamos [tex]\( 2^2 \)[/tex]:
[tex]\[ 7 \cdot 4^m = \sqrt{256} \][/tex]
2. Calculamos la raíz cuadrada de 256:
[tex]\[ \sqrt{256} = 16 \][/tex]
3. Reemplazamos en la ecuación:
[tex]\[ 7 \cdot 4^m = 16 \][/tex]
4. Dividimos ambos lados por 7:
[tex]\[ 4^m = \frac{16}{7} \][/tex]
5. Para resolver [tex]\( m \)[/tex], tomamos el logaritmo en ambas partes:
[tex]\[ m = \frac{\log \left( \frac{16}{7} \right)}{\log (4)} \][/tex]
El resultado aproximado es:
[tex]\[ m \approx 0.5963225389711979 \][/tex]
# Resumen de valores
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (4): [tex]\( 1 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (5): [tex]\( 7 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación (6): [tex]\( 3 \)[/tex]
- [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación final: [tex]\( \approx 0.5963225389711979 \)[/tex]
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