Para resolver este problema donde se nos da que [tex]\(a^2 + a^{-2} = 7\)[/tex] y necesitamos encontrar el valor de [tex]\(a^6 + a^{-6}\)[/tex], seguimos los siguientes pasos:
1. Definimos la variable [tex]\(x\)[/tex] tal que [tex]\(x = a^2 + a^{-2}\)[/tex]. Entonces, tenemos que [tex]\(x = 7\)[/tex].
2. Queremos encontrar la expresión de [tex]\(a^6 + a^{-6}\)[/tex] en términos de [tex]\(x\)[/tex]. Utilizando identidades algebraicas, sabemos que:
[tex]\[
a^6 + a^{-6} = (a^2 + a^{-2})^3 - 3(a^2 + a^{-2})
\][/tex]
3. Sustituimos [tex]\(x\)[/tex] en la ecuación anterior:
[tex]\[
a^6 + a^{-6} = x^3 - 3x
\][/tex]
4. Ya tenemos que [tex]\(x = 7\)[/tex], entonces sustituimos este valor en la fórmula:
[tex]\[
a^6 + a^{-6} = 7^3 - 3 \cdot 7
\][/tex]
5. Calculamos [tex]\(7^3\)[/tex], que es [tex]\(343\)[/tex].
6. Calculamos [tex]\(3 \cdot 7\)[/tex], que es [tex]\(21\)[/tex].
7. Restamos estos valores:
[tex]\[
a^6 + a^{-6} = 343 - 21
\][/tex]
8. Finalmente, obtenemos:
[tex]\[
a^6 + a^{-6} = 322
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(a^6 + a^{-6}\)[/tex] es 322.
