Claro, vamos a racionalizar los denominadores de las expresiones dadas paso a paso.
### Parte (a) Racionalizar [tex]$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$[/tex]
Para racionalizar el denominador de la expresión [tex]\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}\)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado de [tex]\(\sqrt{2} - \sqrt{3}\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)[/tex].
Multiplicamos entonces:
[tex]\[
\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}
\][/tex]
Empezamos con el numerador:
[tex]\[
(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}
\][/tex]
Ahora trabajamos el denominador usando la identidad de diferencia de cuadrados:
[tex]\[
(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1
\][/tex]
Poniendo todo junto:
[tex]\[
\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} = -(5 + 2\sqrt{6}) = -5 - 2\sqrt{6}
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión racionalizada es:
[tex]\[
\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -5 - 2\sqrt{6}
\][/tex]
### Parte (b) Racionalizar [tex]$\frac{2}{\sqrt{6}}$[/tex]
Para racionalizar el denominador de [tex]\(\frac{2}{\sqrt{6}}\)[/tex], multiplicamos tanto el numerador como el denominador por [tex]\(\sqrt{6}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{(\sqrt{6})^2}
\][/tex]
El denominador se simplifica:
[tex]\[
(\sqrt{6})^2 = 6
\][/tex]
Entonces la fracción se convierte en:
[tex]\[
\frac{2\sqrt{6}}{6}
\][/tex]
Podemos simplificar el resultado dividiendo el numerador y el denominador por 2:
[tex]\[
\frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión racionalizada es:
[tex]\[
\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
\][/tex]
Resumen de las respuestas:
a) [tex]\(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -5 - 2\sqrt{6}\)[/tex]
b) [tex]\(\frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)[/tex]
