Para resolver el problema de hallar el tiempo que un proyectil permanece en el aire después de ser lanzado con un ángulo de [tex]\(50^\circ\)[/tex] y una velocidad inicial de [tex]\(25 \, \text{m/s}\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Convertimos el ángulo a radianes:
Dado que la fórmula para el cálculo implica funciones trigonométricas que utilizan radianes, primero convertimos el ángulo de grados a radianes.
[tex]\[
\text{Ángulo en radianes} = 50^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.8727 \, \text{radianes}
\][/tex]
2. Descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical:
La velocidad inicial ([tex]\(v_0\)[/tex]) de [tex]\(25 \, \text{m/s}\)[/tex] se descompone en componentes horizontales ([tex]\(v_{0x}\)[/tex]) y verticales ([tex]\(v_{0y}\)[/tex]) utilizando las funciones seno y coseno:
[tex]\[
v_{0x} = v_0 \cos(\theta)
\][/tex]
[tex]\[
v_{0y} = v_0 \sin(\theta)
\][/tex]
Donde [tex]\( \theta \)[/tex] es el ángulo en radianes. Para el componente vertical:
[tex]\[
v_{0y} = 25 \, \text{m/s} \times \sin(0.8727) \approx 19.1511 \, \text{m/s}
\][/tex]
3. Calculamos el tiempo total en el aire:
Para encontrar el tiempo total que el proyectil permanece en el aire, usamos la ecuación del movimiento vertical bajo la aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\)[/tex]). El tiempo de vuelo de un proyectil lanzado y que regresa al mismo nivel se puede encontrar con la fórmula:
[tex]\[
t_{total} = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g}
\][/tex]
Sustituimos los valores obtenidos:
[tex]\[
t_{total} = \frac{2 \cdot 19.1511 \, \text{m/s}}{9.81 \, \text{m/s}^2} \approx 3.9044 \, \text{s}
\][/tex]
Por lo tanto, el proyectil permanece en el aire aproximadamente [tex]\(3.9044\)[/tex] segundos.
