Claro, vamos a resolver este problema paso a paso:
### Datos dados:
- [tex]\( m_1 = 10 \, \text{kg} \)[/tex]
- [tex]\( m_2 = 20 \, \text{kg} \)[/tex]
- [tex]\( m_3 = 50 \, \text{kg} \)[/tex]
- [tex]\( \mu_1 = 0.3 \)[/tex] (coeficiente de fricción para [tex]\( m_1 \)[/tex])
- [tex]\( \mu_2 = 0.2 \)[/tex] (coeficiente de fricción para [tex]\( m_2 \)[/tex])
- [tex]\( \mu_3 = 0.1 \)[/tex] (coeficiente de fricción para [tex]\( m_3 \)[/tex])
- [tex]\( \sigma = 45^\circ \)[/tex]
- [tex]\( \beta = 30^\circ \)[/tex]
- [tex]\( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)[/tex] (aceleración debido a la gravedad)
### Resolución del problema:
1. Calcular las fuerzas normales:
La fuerza normal ([tex]\(N \)[/tex]) es la componente de la fuerza que es perpendicular a la superficie.
- Para [tex]\( m_1 \)[/tex]:
[tex]\( N_1 = m_1 \cdot g \cdot \cos(\sigma) \)[/tex]
- Para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\( N_2 = m_2 \cdot g \cdot \cos(\beta) \)[/tex]
2. Calcular las fuerzas de fricción:
La fuerza de fricción ([tex]\(F_f \)[/tex]) es el producto del coeficiente de fricción ([tex]\(\mu \)[/tex]) y la fuerza normal ([tex]\(N \)[/tex]).
- Para [tex]\( m_1 \)[/tex]:
[tex]\( F_{\text{fricción}1} = \mu_1 \cdot N_1 \)[/tex]
- Para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\( F_{\text{fricción}2} = \mu_2 \cdot N_2 \)[/tex]
3. Calcular la fuerza neta:
La fuerza neta que mueve al sistema es la diferencia entre la fuerza que ejerce [tex]\( m_3 \)[/tex] por la gravedad y la suma de las fuerzas de fricción que oponen el movimiento.
[tex]\( F_{\text{net}} = m_3 \cdot g - F_{\text{fricción}1} - F_{\text{fricción}2} \)[/tex]
4. Calcular la aceleración:
La aceleración ([tex]\(a \)[/tex]) del sistema se encuentra dividiendo la fuerza neta ([tex]\(F_{\text{net}} \)[/tex]) entre la masa total del sistema.
[tex]\( a = \frac{F_{\text{net}}}{m_1 + m_2 + m_3} \)[/tex]
5. Calcular el tiempo para recorrer 2 metros:
Usando la fórmula del movimiento uniformemente acelerado:
[tex]\( s = \frac{1}{2} a t^2 \)[/tex]
Podemos despejar el tiempo ([tex]\(t\)[/tex]):
[tex]\( t = \left(\frac{2s}{a}\right)^{0.5} \)[/tex]
### Calculando:
a. Aceleración del sistema:
La aceleración del sistema [tex]\( a \)[/tex] se calcula y el resultado ya hallado es aproximadamente:
[tex]\( a \approx 5.44 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
b. Tiempo para recorrer 2 metros:
Utilizando la fórmula y sustituyendo la aceleración y la distancia [tex]\(s = 2 \, \text{m} \)[/tex]:
[tex]\( t = \left(\frac{2 \cdot 2 \, \text{m}}{5.44 \, \text{m/s}^2}\right)^{0.5} \)[/tex]
El resultado del tiempo ya calculado es aproximadamente:
[tex]\( t \approx 0.86 \, \text{s} \)[/tex]
Con esto, hemos resuelto ambas partes del problema:
- La aceleración del sistema es aproximadamente [tex]\( 5.44 \, \text{m/s}^2 \)[/tex].
- El tiempo que tarda en recorrer 2 metros es aproximadamente [tex]\( 0.86 \, \text{s} \)[/tex].
