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Sagot :
### Solución Detallada:
#### a) [tex]\[ x^2 + 10x + \ \ \ \ \ \text{ es un trinomio cuadrado perfecto} \][/tex]
Para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\[ a^2 + 2ab + b^2 \][/tex].
Dado que los dos primeros términos son [tex]\( x^2 + 10x \)[/tex], reconocemos que [tex]\( 10x \)[/tex] debe ser [tex]\( 2ab \)[/tex].
Aquí:
- [tex]\( a = x \)[/tex]
- [tex]\( 2ab = 10x \)[/tex] implica que [tex]\( 2b = 10 \)[/tex], entonces [tex]\( b = 5 \)[/tex].
Por lo tanto, [tex]\( b^2 = 5^2 = 25 \)[/tex].
El término que falta para que [tex]\( x^2 + 10x \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto es 25.
[tex]\[ \boxed{25} \][/tex]
#### b) [tex]\[ x^6 - \ \ \ \ \ -33 \text{ es un trinomio de la forma } x^{2n} + bx^n + c \][/tex]
Para que la expresión sea de la forma [tex]\( x^{2n} + bx^n + c \)[/tex], el término medio debe ser de la forma [tex]\( bx^{n} \)[/tex], donde [tex]\( n = \frac{6}{2} = 3 \)[/tex].
Aquí, necesitamos un término [tex]\( bx^3 \)[/tex].
De tal manera que el trinomio tenga la forma [tex]\( x^6 + bx^3 - 33 \)[/tex], debemos asignar a [tex]\( b \)[/tex] el valor cero para que así no modifique la expresión original.
El término que falta es 0.
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
#### c) [tex]\[ \ \ \ \ \ -13x^4-77 \text{ es un trinomio de la forma } x^{2n} + bx^n + c \][/tex]
Para que la expresión sea de la forma [tex]\( x^{2n} + bx^n + c \)[/tex], dado que nuestro segundo término es [tex]\(-13x^4\)[/tex], necesitamos que [tex]\( x^{2n} = x^{4} \)[/tex], lo que implica [tex]\( n = 2 \)[/tex].
El término [tex]\( bx^2 \)[/tex] está completamente ausente.
Para que el segundo término ( [tex]\( bx^2 \)[/tex] ) esté ausente, podemos entender que b y cualquier otra combinación que resultara en [tex]\(-13x^4\)[/tex] es inválida o imposible porque aquí debería estar el término [tex]\( b \)[/tex].
Por lo tanto, no hay un término que haga que la expresión cumpla la condición dada.
El término que falta es 0.
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
#### d) [tex]\[ 36x^4 - 12x^2y^2 + y^4 \][/tex]
Este trinomio ya es un trinomio cuadrado perfecto, porque puede expresarse como el cuadrado de un binomio:
[tex]\[ (6x^2 - y^2)^2 \][/tex]
No falta ningún término para cumplir la condición.
#### e) [tex]\[ x^4 - 16x^2 + 60 \][/tex]
Este trinomio ya es de la forma [tex]\( ax^{n} + bx^{n/2} + c \)[/tex], donde [tex]\( n = 4 \)[/tex].
Por lo tanto, no es necesario agregar ningún término adicional para cumplir la condición.
### Resumen de los Términos Faltantes:
a) 25
b) 0
c) 0
#### a) [tex]\[ x^2 + 10x + \ \ \ \ \ \text{ es un trinomio cuadrado perfecto} \][/tex]
Para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, debe tener la forma [tex]\[ a^2 + 2ab + b^2 \][/tex].
Dado que los dos primeros términos son [tex]\( x^2 + 10x \)[/tex], reconocemos que [tex]\( 10x \)[/tex] debe ser [tex]\( 2ab \)[/tex].
Aquí:
- [tex]\( a = x \)[/tex]
- [tex]\( 2ab = 10x \)[/tex] implica que [tex]\( 2b = 10 \)[/tex], entonces [tex]\( b = 5 \)[/tex].
Por lo tanto, [tex]\( b^2 = 5^2 = 25 \)[/tex].
El término que falta para que [tex]\( x^2 + 10x \)[/tex] sea un trinomio cuadrado perfecto es 25.
[tex]\[ \boxed{25} \][/tex]
#### b) [tex]\[ x^6 - \ \ \ \ \ -33 \text{ es un trinomio de la forma } x^{2n} + bx^n + c \][/tex]
Para que la expresión sea de la forma [tex]\( x^{2n} + bx^n + c \)[/tex], el término medio debe ser de la forma [tex]\( bx^{n} \)[/tex], donde [tex]\( n = \frac{6}{2} = 3 \)[/tex].
Aquí, necesitamos un término [tex]\( bx^3 \)[/tex].
De tal manera que el trinomio tenga la forma [tex]\( x^6 + bx^3 - 33 \)[/tex], debemos asignar a [tex]\( b \)[/tex] el valor cero para que así no modifique la expresión original.
El término que falta es 0.
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
#### c) [tex]\[ \ \ \ \ \ -13x^4-77 \text{ es un trinomio de la forma } x^{2n} + bx^n + c \][/tex]
Para que la expresión sea de la forma [tex]\( x^{2n} + bx^n + c \)[/tex], dado que nuestro segundo término es [tex]\(-13x^4\)[/tex], necesitamos que [tex]\( x^{2n} = x^{4} \)[/tex], lo que implica [tex]\( n = 2 \)[/tex].
El término [tex]\( bx^2 \)[/tex] está completamente ausente.
Para que el segundo término ( [tex]\( bx^2 \)[/tex] ) esté ausente, podemos entender que b y cualquier otra combinación que resultara en [tex]\(-13x^4\)[/tex] es inválida o imposible porque aquí debería estar el término [tex]\( b \)[/tex].
Por lo tanto, no hay un término que haga que la expresión cumpla la condición dada.
El término que falta es 0.
[tex]\[ \boxed{0} \][/tex]
#### d) [tex]\[ 36x^4 - 12x^2y^2 + y^4 \][/tex]
Este trinomio ya es un trinomio cuadrado perfecto, porque puede expresarse como el cuadrado de un binomio:
[tex]\[ (6x^2 - y^2)^2 \][/tex]
No falta ningún término para cumplir la condición.
#### e) [tex]\[ x^4 - 16x^2 + 60 \][/tex]
Este trinomio ya es de la forma [tex]\( ax^{n} + bx^{n/2} + c \)[/tex], donde [tex]\( n = 4 \)[/tex].
Por lo tanto, no es necesario agregar ningún término adicional para cumplir la condición.
### Resumen de los Términos Faltantes:
a) 25
b) 0
c) 0
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