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Sagot :
Para resolver as equações literais a seguir, vamos abordar cada uma, identificando as soluções e as restrições resultantes. As restrições são necessárias para evitar divisões por zero.
### a) [tex]\(\frac{x^2}{m + x} + \frac{n p^2}{m^2 + m x} = x\)[/tex]
Para resolver essa equação, simplificamos inicialmente:
[tex]\[ \frac{x^2}{m + x} + \frac{n p^2}{m^2 + m x} - x = 0 \][/tex]
Achamos que [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] é uma solução possível.
Restrições:
Os denominadores [tex]\( m + x \)[/tex] e [tex]\( m^2 + m x \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ m + x \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ m^2 + m x \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] com a restrição [tex]\( m \neq -\frac{n p^2}{m^2} \)[/tex].
### b) [tex]\(\frac{x + a}{x - a} + \frac{x + b}{x - b} = 2\)[/tex]
Para resolver essa equação, somamos os termos:
[tex]\[ \frac{x + a}{x - a} + \frac{x + b}{x - b} = 2 \][/tex]
A solução é que [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex].
Restrições:
Os denominadores [tex]\( x - a \)[/tex] e [tex]\( x - b \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ x - a \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x - b \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex] com as restrições [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x \neq b \)[/tex].
### c) [tex]\(\frac{b - x}{a + x} - \frac{c - x}{x - a} = \frac{a(2 x - c)}{x^2 - a^2}\)[/tex]
Para resolver essa equação, simplificamos as frações:
[tex]\[ \frac{b - x}{a + x} - \frac{c - x}{x - a} = \frac{a(2 x - c)}{x^2 - a^2} \][/tex]
A solução é que [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex].
Restrições:
Os denominadores [tex]\( a + x \)[/tex], [tex]\( x - a \)[/tex], e [tex]\( x^2 - a^2 \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ a + x \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x - a \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - a^2 \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex] com as restrições [tex]\( x \neq -a \)[/tex], [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x^2 \neq a^2 \)[/tex].
Recapitulando, temos:
a) Solução: [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] com [tex]\( m \neq -\frac{n p^2}{m^2} \)[/tex].
b) Solução: [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex] com [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x \neq b \)[/tex].
c) Solução: [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex] com [tex]\( x \neq -a \)[/tex], [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x^2 \neq a^2 \)[/tex].
### a) [tex]\(\frac{x^2}{m + x} + \frac{n p^2}{m^2 + m x} = x\)[/tex]
Para resolver essa equação, simplificamos inicialmente:
[tex]\[ \frac{x^2}{m + x} + \frac{n p^2}{m^2 + m x} - x = 0 \][/tex]
Achamos que [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] é uma solução possível.
Restrições:
Os denominadores [tex]\( m + x \)[/tex] e [tex]\( m^2 + m x \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ m + x \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ m^2 + m x \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] com a restrição [tex]\( m \neq -\frac{n p^2}{m^2} \)[/tex].
### b) [tex]\(\frac{x + a}{x - a} + \frac{x + b}{x - b} = 2\)[/tex]
Para resolver essa equação, somamos os termos:
[tex]\[ \frac{x + a}{x - a} + \frac{x + b}{x - b} = 2 \][/tex]
A solução é que [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex].
Restrições:
Os denominadores [tex]\( x - a \)[/tex] e [tex]\( x - b \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ x - a \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x - b \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex] com as restrições [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x \neq b \)[/tex].
### c) [tex]\(\frac{b - x}{a + x} - \frac{c - x}{x - a} = \frac{a(2 x - c)}{x^2 - a^2}\)[/tex]
Para resolver essa equação, simplificamos as frações:
[tex]\[ \frac{b - x}{a + x} - \frac{c - x}{x - a} = \frac{a(2 x - c)}{x^2 - a^2} \][/tex]
A solução é que [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex].
Restrições:
Os denominadores [tex]\( a + x \)[/tex], [tex]\( x - a \)[/tex], e [tex]\( x^2 - a^2 \)[/tex] não podem ser zero:
[tex]\[ a + x \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x - a \neq 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - a^2 \neq 0 \][/tex]
Portanto, a solução é [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex] com as restrições [tex]\( x \neq -a \)[/tex], [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x^2 \neq a^2 \)[/tex].
Recapitulando, temos:
a) Solução: [tex]\( x = \frac{n p^2}{m^2} \)[/tex] com [tex]\( m \neq -\frac{n p^2}{m^2} \)[/tex].
b) Solução: [tex]\( x = \frac{2ab}{a + b} \)[/tex] com [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x \neq b \)[/tex].
c) Solução: [tex]\( x = \frac{ab}{b - c} \)[/tex] com [tex]\( x \neq -a \)[/tex], [tex]\( x \neq a \)[/tex] e [tex]\( x^2 \neq a^2 \)[/tex].
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