Claro, vamos a resolver la ecuación cuadrática [tex]\(6x^2 + 13x - 5 = 0\)[/tex] usando la fórmula general para encontrar las raíces.
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex] es:
[tex]\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \][/tex]
Para nuestra ecuación [tex]\(6x^2 + 13x - 5 = 0\)[/tex], los coeficientes son:
- [tex]\(a = 6\)[/tex]
- [tex]\(b = 13\)[/tex]
- [tex]\(c = -5\)[/tex]
### Paso 1: Calcular el discriminante
El discriminante se calcula como:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac \][/tex]
Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[ \Delta = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 169 + 120 \][/tex]
[tex]\[ \Delta = 289 \][/tex]
### Paso 2: Calcular las raíces usando la fórmula general
La fórmula general se divide en dos partes debido al símbolo [tex]\(\pm\)[/tex], lo que nos da dos posibles soluciones. Primero, calculamos la raíz usando [tex]\(+\sqrt{\Delta}\)[/tex] y luego usando [tex]\(-\sqrt{\Delta}\)[/tex].
#### Raíz 1:
[tex]\[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{\Delta}}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x_1 = \frac{{-13 + \sqrt{289}}}{2 \cdot 6} \][/tex]
Sabemos que [tex]\(\sqrt{289} = 17\)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{{-13 + 17}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{4}{12} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = \frac{1}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_1 = 0.3333333333333333 \][/tex]
#### Raíz 2:
[tex]\[ x_2 = \frac{{-b - \sqrt{\Delta}}}{2a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x_2 = \frac{{-13 - \sqrt{289}}}{2 \cdot 6} \][/tex]
Sabemos que [tex]\(\sqrt{289} = 17\)[/tex]:
[tex]\[ x_2 = \frac{{-13 - 17}}{12} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-30}{12} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -2.5 \][/tex]
### Resultado Final:
Las raíces de la ecuación [tex]\(6x^2 + 13x - 5 = 0\)[/tex] son:
[tex]\[ x_1 = 0.3333333333333333 \][/tex]
[tex]\[ x_2 = -2.5 \][/tex]
Así, hemos encontrado dos soluciones para la ecuación cuadrática dada, utilizando la fórmula general.
