Claro, comencemos resolviendo el problema paso a paso teniendo en cuenta la información dada.
La ecuación está dada por:
[tex]\[ x \cdot y + x^3 - \frac{y}{2} = 4 \][/tex]
Necesitamos encontrar [tex]\(x\)[/tex] en función de [tex]\(y\)[/tex].
### Paso 1: Plantear la ecuación
La ecuación dada es:
[tex]\[ x \cdot y + x^3 - \frac{y}{2} = 4 \][/tex]
Donde:
- [tex]\( x \cdot y \)[/tex] representa el área de un rectángulo
- [tex]\( x^3 \)[/tex] es el cubo de un número
- [tex]\(- \frac{y}{2} \)[/tex] es la mitad negativa de otro número
### Paso 2: Resolver para [tex]\( x \)[/tex]
Para resolver esta ecuación para [tex]\( x \)[/tex], primero colocamos todos los términos con [tex]\( x \)[/tex] de un lado de la ecuación y el resto del otro lado:
[tex]\[ x \cdot y + x^3 - \frac{y}{2} - 4 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cúbica en términos de [tex]\( x \)[/tex].
### Paso 3: Factorizar o usar una fórmula para resolver la ecuación cúbica
La solución a esta ecuación cúbica dará valores de [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex]. Los valores de [tex]\( x \)[/tex] pueden obtenerse resolviendo la ecuación cúbica completa, lo que implica encontrar hasta tres posibles valores de [tex]\( x \)[/tex].
### Soluciones detalladas:
Consideramos el polinomio cúbico resultante. Al resolver algebraicamente, notamos que hay tres soluciones posibles para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x_1 = \frac{y}{(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54)^{1/3}} - \frac{(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54)^{1/3}}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{y}{\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54\right)^{1/3}} - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54\right)^{1/3}/3 \][/tex]
[tex]\[ x_3 = \frac{y}{\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54\right)^{1/3}} - \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(-\frac{27y}{4} + \sqrt{108y^3 + (-\frac{27y}{2} - 108)^2}/2 - 54\right)^{1/3}/3 \][/tex]
Estas son las tres soluciones posibles para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex].
