Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
### a. Cálculo de la aceleración del sistema:
Paso 1: Identificamos las fuerzas normales sobre las masas
Para [tex]\( m_1 \)[/tex]:
[tex]\[ N_1 = m_1 \cdot g \cdot \cos(a) \][/tex]
Donde:
- [tex]\( m_1 = 10 \text{ kg} \)[/tex]
- [tex]\( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)[/tex]
- [tex]\( a = 45^\circ \)[/tex] (convertido a radianes = [tex]\( \frac{\pi}{4} \)[/tex])
[tex]\[
N_1 = 10 \cdot 9.81 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 69.367 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\[ N_2 = m_2 \cdot g \cdot \cos(\beta) \][/tex]
Donde:
- [tex]\( m_2 = 20 \text{ kg} \)[/tex]
- [tex]\( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)[/tex]
- [tex]\( \beta = 30^\circ \)[/tex] (convertido a radianes = [tex]\( \frac{\pi}{6} \)[/tex])
[tex]\[
N_2 = 20 \cdot 9.81 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 169.914 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_3 \)[/tex] (en un plano horizontal):
[tex]\[ N_3 = m_3 \cdot g \][/tex]
Donde:
- [tex]\( m_3 = 50 \text{ kg} \)[/tex]
- [tex]\( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \)[/tex]
[tex]\[
N_3 = 50 \cdot 9.81 = 490.5 \text{ N}
\][/tex]
Paso 2: Calculamos las fuerzas de fricción
Para [tex]\( m_1 \)[/tex]:
[tex]\[ F_{f1} = \mu_1 \cdot N_1 \][/tex]
Donde [tex]\( \mu_1 = 0.3 \)[/tex]
[tex]\[
F_{f1} = 0.3 \cdot 69.367 \approx 20.810 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\[ F_{f2} = \mu_2 \cdot N_2 \][/tex]
Donde [tex]\( \mu_2 = 0.2 \)[/tex]
[tex]\[
F_{f2} = 0.2 \cdot 169.914 \approx 33.983 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_3 \)[/tex]:
[tex]\[ F_{f3} = \mu_3 \cdot N_3 \][/tex]
Donde [tex]\( \mu_3 = 0.1 \)[/tex]
[tex]\[
F_{f3} = 0.1 \cdot 490.5 \approx 49.050 \text{ N}
\][/tex]
La fuerza total de fricción del sistema:
[tex]\[
F_{f_{\text{total}}} = F_{f1} + F_{f2} + F_{f3} \approx 103.843 \text{ N}
\][/tex]
Paso 3: Calculamos las componentes de las fuerzas de gravedad que jalan las masas
Para [tex]\( m_1 \)[/tex]:
[tex]\[ F_{\text{gravity1}} = m_1 \cdot g \cdot \sin(a) \][/tex]
[tex]\[
F_{\text{gravity1}} = 10 \cdot 9.81 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 69.367 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_2 \)[/tex]:
[tex]\[ F_{\text{gravity2}} = m_2 \cdot g \cdot \sin(\beta) \][/tex]
[tex]\[
F_{\text{gravity2}} = 20 \cdot 9.81 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 98.1 \text{ N}
\][/tex]
Para [tex]\( m_3 \)[/tex] (ya que no está en un plano inclinado, esta fuerza es cero):
[tex]\[ F_{\text{gravity3}} = 0 \][/tex]
Paso 4: Calculamos la fuerza neta
[tex]\[ F_{\text{net}} = F_{\text{gravity1}} + F_{\text{gravity2}} - F_{f_{\text{total}}} \][/tex]
[tex]\[
F_{\text{net}} = 69.367 + 98.1 - 103.843 \approx 63.624 \text{ N}
\][/tex]
Paso 5: Calculamos la aceleración del sistema
[tex]\[ F = ma \][/tex] y reordenando para encontrar [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m_{\text{total}}} \][/tex]
Donde:
[tex]\[ m_{\text{total}} = m_1 + m_2 + m_3 = 10 + 20 + 50 = 80 \text{ kg} \][/tex]
[tex]\[
a = \frac{63.624}{80} \approx 0.795 \text{ m/s}^2
\][/tex]
### b. Cálculo del tiempo para recorrer 2 metros
Usamos la ecuación de movimiento:
[tex]\[ \text{distancia} = \frac{1}{2} a t^2 \][/tex]
Para encontrar [tex]\( t \)[/tex]:
[tex]\[ t = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{distancia}}{a}} \][/tex]
Donde la distancia es [tex]\( 2 \text{ m} \)[/tex]:
[tex]\[
t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{0.795}} \approx 2.243 \text{ s}
\][/tex]
### Resumen
a. La aceleración del sistema es aproximadamente [tex]\( 0.795 \text{ m/s}^2 \)[/tex].
b. El tiempo que tarda en recorrer 2 metros es aproximadamente [tex]\( 2.243 \text{ s} \)[/tex].
