Para resolver este problema, usaremos el principio de conservación de la energía térmica. La energía perdida por el aluminio será igual a la energía ganada por el agua, hasta que ambos alcancen una temperatura de equilibrio.
Definiremos las siguientes variables:
- [tex]\( m_1 = 350 \)[/tex] gr (masa del agua)
- [tex]\( t_1 = 30 \)[/tex] ºC (temperatura inicial del agua)
- [tex]\( c_1 = 1 \)[/tex] cal/(gr·ºC) (calor específico del agua)
- [tex]\( m_2 = 500 \)[/tex] gr (masa del aluminio)
- [tex]\( t_2 = 45 \)[/tex] ºC (temperatura inicial del aluminio)
- [tex]\( c_2 = 0.22 \)[/tex] cal/(gr·ºC) (calor específico del aluminio)
Usamos la ecuación del balance de energía térmica:
[tex]\[ m_2 \cdot c_2 \cdot (t_2 - T_f) = m_1 \cdot c_1 \cdot (T_f - t_1) \][/tex]
Aquí, [tex]\( T_f \)[/tex] es la temperatura final de la mezcla que debemos encontrar.
Primero, desarrollamos la ecuación:
[tex]\[ 500 \cdot 0.22 \cdot (45 - T_f) = 350 \cdot 1 \cdot (T_f - 30) \][/tex]
Resolvemos la ecuación paso a paso:
1. Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 110 \cdot (45 - T_f) = 350 \cdot (T_f - 30) \][/tex]
2. Distribuimos:
[tex]\[ 4950 - 110T_f = 350T_f - 10500 \][/tex]
3. Combinamos términos semejantes:
[tex]\[ 4950 + 10500 = 350T_f + 110T_f \][/tex]
[tex]\[ 15450 = 460T_f \][/tex]
4. Despejamos [tex]\( T_f \)[/tex]:
[tex]\[ T_f = \frac{15450}{460} \][/tex]
[tex]\[ T_f = 33.58695652173913 \][/tex]
Por lo tanto, la temperatura final de la mezcla es aproximadamente:
[tex]\[ T_f \approx 33.59 \, ^\circ C \][/tex]
La opción correcta es:
D. [tex]\( 33.5869 \, ^\circ C \)[/tex]
