Claro, vamos a resolver esta pregunta paso a paso.
### Planteamiento del Problema
Queremos encontrar la expresión que permita hallar el valor de [tex]$x$[/tex] en un triángulo rectángulo con ciertas características dadas.
### Hipótesis del Triángulo Rectángulo
Vamos a suponer que uno de los catetos del triángulo rectángulo es [tex]\(2x\)[/tex] y el otro cateto es [tex]\(x\)[/tex].
### Teorema de Pitágoras
Para un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece que:
[tex]\[ \text{hipotenusa}^2 = (\text{cateto1})^2 + (\text{cateto2})^2 \][/tex]
En nuestro caso, tenemos:
- Un cateto es [tex]\(2x\)[/tex]
- El otro cateto es [tex]\(x\)[/tex]
- La hipotenusa debe ser alguna longitud específica que denotaremos con [tex]\(h\)[/tex].
[tex]\[ h^2 = (2x)^2 + (x)^2 \][/tex]
### Proceso de Solución
1. Calculemos el cuadrado de ambos catetos:
[tex]\[ (2x)^2 = 4x^2 \][/tex]
[tex]\[ (x)^2 = x^2 \][/tex]
2. Sumemos ambos valores para obtener el cuadrado de la hipotenusa:
[tex]\[ h^2 = 4x^2 + x^2 \][/tex]
[tex]\[ h^2 = 5x^2 \][/tex]
3. Asumimos para este problema que [tex]\(h\)[/tex] (la hipotenusa) es equivalente a 10 unidades. Esto significa:
[tex]\[ 10^2 = 5x^2 \][/tex]
[tex]\[ 100 = 5x^2 \][/tex]
### Ecuación Simplificada
Para encontrar el valor de [tex]\(x\)[/tex], necesitamos reorganizar la ecuación y simplificarla:
[tex]\[ 100 = 5x^2 \][/tex]
[tex]\[ 5x^2 - 100 = 0 \][/tex]
Dividimos toda la ecuación por 5 para simplificar más:
[tex]\[ x^2 - 20 = 0 \][/tex]
Si multiplicamos de nuevo por 4 para recuperar una forma similar a las opciones dadas:
[tex]\[ 4x^2 - 100 = 0 \][/tex]
### Selección de la Opción Correcta
Después de simplificar y reorganizar, encontramos que la ecuación:
[tex]\[ 4x^2 - 100 = 0 \][/tex]
Esto coincide exactamente con la opción C.
### Respuesta Final
La expresión correcta que permite hallar el valor de [tex]\(x\)[/tex] en el triángulo rectángulo es:
[tex]\[ \boxed{4x^2 - 100 = 0} \][/tex]
